从多元表征走向深度数学化

陈军

【编者按】在日常教学进程中，学生的错误无法避免。我们一直说，学生的错误是一种重要的教育资源，善加利用便能使教学事半功倍。但大多时候，教师对于学生的错误分析仅是简单的归类整理，加强知识层面的训练，缺少对于学生心理方面的分析。本期话题围绕“小学数学学生错误心理分析及应对策略”展开。

在小学数学学习中，学生总是会出现各种各样的错误。心理学家盖耶说：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”面对学生解题过程中出现的错误，教师们常会简单地归因：审题不细，计算粗心，思路不当……其实，每一个错误都是与学生心理发展相互关联的。错误是学生思维路径的原生态表达，错误的背后可能蕴藏着学生火热的思考，也能让我们把脉儿童的心理发展规律。在问题解决过程中，如果只关注结果的正确与否，不关注过程的来龙去脉，我们就无法透视儿童的心理发展，无法知晓学生的思维路径，也无从给学生提供精准化的针对性帮助。因而，教师要用包容的心态、欣赏的眼光、教育的视角，正确认识错误的价值，分析背后的心理原因，从中探寻学生真实的思维路径，顺思启智，顺学而导，适才扬性，在多元化表征中促进数学化的发展。

一、案例回放

师：学了分数的再认识后，小明就一直在思考分数在生活中还会有哪些应用。早晨，妈妈给小明准备了1杯牛奶。小明玩起了分数游戏，他第1次喝了一杯牛奶的，然后加满水；第2次喝了杯，再加满水；第3次喝了半杯，又加满水；最后，把一杯都喝了。小明喝的牛奶多，还是水多呢？同学们，请独立思考，想办法表示出你的思考过程，要让别人很容易就看明白。

教师巡视，学生有画图，有列表，有列算式……

师：（3分钟后）把你的想法在组内交流，无论是否得出了结果，都要勇敢地和别人说一说，或许你的思考过程能为别人打开一扇窗，点亮一盏灯呢！

教师参与到其中一个小组的交流中，倾听着每个学生的发言。

生1：（如图1）我先画了一个杯子，平均分成6份，涂色5份，没涂色的表示第1次喝1杯牛奶的；接着又画一个杯子，平均分成3份，涂色2份，没涂色的表示第2次喝1杯牛奶的；然后又画一个杯子，平均分成2份，涂色1份，没涂色的表示第3次喝1杯牛奶的一半；最后又画一个杯子，表示把1杯都喝了。但是，接下来我就不会想了，不知道小明喝的牛奶多，还是水多。

生2：（如图2）我画的图跟生1差不多，不过我把每次喝掉的部分涂色了，小明第1次，喝1杯牛奶的，就是第1只杯子上面部分，下面部分没喝的就是；加满水后，第2次，小明喝杯，就是喝了水的和牛奶的，这时已喝杯水，已喝+=杯奶；加满水后，第3次，小明喝一半，这时已喝了杯水，已喝杯奶；第四次喝光，一共喝水+=杯，喝杯奶，>，小明喝的水多。

生3：（如图3）我画的是线段图。小明第1次，喝1杯牛奶的，就是第1條线段左边部分，右边部分没喝的就是；加满水后，第2次，小明喝杯，这时的水喝了，的牛奶也就是3个，被喝掉；加满水后，这时杯中共有水+=杯，共有牛奶杯，第3次，喝了半杯，一共喝水+=杯。第四次喝光，一共喝水++==杯，共喝掉牛奶杯，>，小明喝水多。

生4：我觉得你们做得

不对，我是这样想的，（如

图4）我用长方形表示牛奶

瓶，每次加水的部分，我涂成了阴影，3次一共加++=1杯水，就是上面的第4幅图。小明第1次喝是牛奶；第2次喝杯，有牛奶，也有水；第3次喝一半，也是有牛奶和水；第4次喝光，也是有牛奶和水。虽然分了4次喝，其实他一共喝掉的是1杯牛奶，所以，我认为小明喝的牛奶和水一样多，大家同意我的想法吗？

二、错误分析

在上面的教学片段中，教师让学生想办法表示出自己的思考过程，并且要让别人很容易就看明白，这一组学生都不约而同地选择了画图策略。画图策略能让思维显性化，是这个读图时代最广泛的方法。从儿童的心理发展看，小学阶段儿童思维的基本特点是：从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。在很大程度上，其思维仍然是直接与感性经验相联系的，并依赖于具体的形象性。特级教师朱德江提出：“‘图应成为学生表征思维过程的重要方式，用‘图帮助思考应成为学生的习惯。”

案例中，如果只关注最后的结果，生1没做出结果，生2、生3的结论是错误的。但是仔细分析学生的思考过程，都是有价值的，能让我们透视学生的心理发展事态，了解到学生思维的起点。可以发现不同学生注意的范围（即同一时间内所能感知的客体的数量）是不一样的，而注意的范围大小又和思维发展紧密相连。一些学生在复杂的事物面前，往往不能找到其间的关系，只能罗列一些互不相关的特征，生1就是这种情况的代表。有的学生注意的范围发展得好一些，能注意到事物的一些细节，但又不能注意整体或全局。如生2、生3，就关注到前后每次的变化，却注意不到前后三次整体的变化。

由于学生心理发展程度的不同，每个学生在数学化道路上也表现出程度不一的状况。弗赖登塔尔认为，“我们把数学当成一种活动，它的一个主要特征就是数学化。”数学化可分为横向数学化与纵向数学化，横向数学化注重从生活到数学，从现实情境到数学体系，而纵向数学化是数学体系内部的变换与重组。案例中，学生运用图形图像表征题目信息，其实就是横向的数学化，将生活情境抽象成图形图像，通过对图形图像的观察、分析，进一步抽象出每次牛奶和水的关系。但是在纵向数学化方面，学生的发展程度是不同的。

生1能将题目的语言文字，用图像表征，这是最低层次的横向数学化，除此之外，没有关注前后两次的数量关系，没有纵向数学化。生2能用图像表征题目信息，关注到每次变化后杯中牛奶和水的数量关系，通过均分、叠加的方式得到每次结果，相比前者，在纵向数学化上往前走了一步。生3能从生活情境中跳出来，运用线段图表征题目信息，相比生1在横向数学化上程度更深，能抽象出线段模型，而且与生2类似，也能关注每次的数量关系，在纵向数学化上又往前走了一步。生4运用几何直观的图形表征方式，既关注到前后每次杯中牛奶和水的数量关系，还能从中发现牛奶总量和水总量的数量恒等关系。他比前面三位在横向数学化和纵向数学化方面发展得都更好。

学生心理发展层次的不同，思维的抽象程度就会千差万别，在横向数学化和纵向数学化的道路上，也就有了不同的方向和距离。这样的分析有利于教师了解学生的思维层次和思维卡点，通过个性化诊断，为学生学习提供精准的帮扶指导。

三、应对策略

针对学生问题解决过程中出现的错误，分析了其背后的心理原因，了解了学生的思维路径，就可以从中找到相应的策略，给学生提供精准化的帮扶指导。

策略一：从多元表征中抽象出数学模型。

问题表征是人们在解决问题时所使用的一种认知结构。在数学问题解决的过程中，人的问题表征系统很复杂。美国数学教育心理学家莱什从交流的角度将数学表征分为以下五种：真实情境、具体操作、图形与图表、语言符号和书面符号。这些表征系统既包括动作操作材料，也包括静止图式模型（即图画）的肖像方式；既包括出声语言，也包括书面符号的符号方式。莱什将这些称之为形象表征系统，将更抽象的概念称之为抽象表征系统。形象表征系统和抽象表征系统构成了一个完整的表征系统，而形象表征与抽象表征之间，以及形象表征的各种形式之间是可以相互影响和转换的（如图5）。借助一个好的形象表征，学生可以形成一个有效的抽象表征，从而更好地了解问题解决的实质和关系，然后借助形象表征的各种方式实现对问题的解决。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“借助幾何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果”。某种程度上，这也是对学生多元表征方式的关注。学生的表征越丰富，其对生活情境的抽象越深刻。现实生活情境中，学生通过动手操作进行动作表征，通过画实物图、直观图、线段图等进行图形图像表征，通过运用文字、字母、数字进行符号化表征，通过口语进行语言表征。层层递进，步步深入，抽象的程度由浅入深，在形象表征与抽象表征相互影响和转换中，逐步学会像数学家一样数学地思考，在再创造中将现实情境逐步抽象成数学模型。

策略二：整合融通，纵横数学化均衡发展。

根据弗赖登塔尔的观点，如果对横向数学化和纵向数学化进行分类，数学教育可以分成四种类型：缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义教学；横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义教学；横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义教学；横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义教学。（如图6）

案例中，根据每个学生呈现的思维，就能准确定位他们在横向数学化与纵向数学化坐标系中所处的位置，也就给教师的指导帮助明确了方向和作用力。教学中，整合融通，既关注横向数学化的发展，也关注纵向数学化的发展，实施当下新课程追求的现实主义教学，让横向数学化与纵向数学化结伴而行、均衡发展。学生就能形成科学的思维框架，通过结构化思考培育系统化思维。从现实情境中抽象出数学模型，再回到生活中，对模型进行解释应用，在生活情境与数学模型的双向转化中，实现最高层次的数学应用。

（作者单位：清华大学附属小学昌平学校）