微积分在经济学中的运用研究

华冬云

摘要：随着经济的发展，数学知识在其中得到广泛的应用，尤其以微积分在经济学中应用最多，能够快速、准确地解决经济问题。文章从数学与经济学之间存在的密切关系着手分析，并分析微积分被引入经济学之后，边际分析在经济学得到准确的定位，最后，分析微积分在经济学中的具体应用，从而促进微积分在经济学中的发展。

关键词：微积分；经济学；运用

从数学知识运用在经济学中至今，已经由原本运用初级数学知识，逐渐转变到运用高等数学知识，而微积分作为高等数学知识的重要内容，在经济学中应用非常普遍，其主要是运用微积分中的极限、积分以及导数知识，提高微积分在经济学中的作用和地位，从而使微积分在经济学中得到更为广泛的应用，并促进经济学的发展。

1数学与经济学的密切关系

经济学中运用数学知识有客观因素作为基础。经济学研究的主要内容是“物的交换”，存在量化规则，而在经济学中，需求、价格以及供给等内容都属于量化概念的范畴。经济学揭示事物规律中通常需要使用数量进行说明，尤其经济学的发展以“理性经济人”为基础。经济人需要在行为上保持理性，可以结合自身在市场中的处境准确判断出自己的价值，并能够在不同的场合中，选择能够带给自己最大利益的一方。因此，在数学知识中存在最优化和求极值的知识，都适合用在经济学中分析不同的最优化经济发展效果等问题；同时，对于数学知识中求极值的理论与概念知识，都可以在最优化的经济中找到其原型。

数学方法本身可以为经济学分析与发展提供可能性。当经济学的研究对象为复杂的事物时，可以利用多变量微积分的相关知识进行分析；导数以及全微分公式等是数理经济学中最基础的知识以及分子手段。将数学知识运用在经济学当中，复杂的经济学以及事物等则可以变得非常清晰，不需要使用多余的文字对经济学现象进行说明，数学方法能够促使科学以及经济学的理论知识等研究成果表达地更加精确、准确，检验最终的结论与假设前提条件是否存在一致或是矛盾关系，从而强化研究成果的准确性。可以说数学中线性规划理论是为经济学的发展而创立，其主要是为探索满足众多约束条件的前提下，能够求得极值的有效条件。经济学的主要任务，是在生产技术以及资源约束的前提下，寻求最大化消费者效用的有效途径。

经济理论基础是经济计量学构建模型的基础，并能够将模型与现实生活进行比较，通过对比确定该理论是否成立、或是进行修改、或是直接摒弃；数学知识具有很强的逻辑性，因此，可以从逻辑的角度证明经济学面向数学化发展存在可行性，简单的说数学知识可以凸显出逻辑的一致性特点。此外，数学方法可以为经济学提供多种形式的积累方式，从而使经济学知识得以积累。

2经济学中引入微积分，确定边际分析的地位

2.1宏观经济学体现出的微积分思想

凯恩斯曾揭示失业和出现经济危机的主要原因，即市场中的有效需求不足导致的失业，而出现需求不足的主要原因是边际消费逐渐减少，导致资本边际效率和消费需求逐渐出现递减现象，由此引发的投资需求出现不足。基于此，凯恩斯根据边际消费的相关内容提出经济学中的乘数原理，且乘数与边际消费倾向为正比例关系，即乘数随着边际消费倾向的增加而增加，随其减少而减少。因此，为减缓或是消除市场的失业萧条现象，国家则应积极鼓励社会成员消费，通过增加货币数量的形式降低利率，可以适当地增加生产者的利润，致使资本边际效率得到提高，从而增加投资物品的市场需求，并通过乘数在市场经济中的作用，增加市场对消费品的需求量。而边际分析属于宏观经济，从而体现出微积分知识在宏观经济中的运用。

2.2经济均衡理论中体现出的微积分方法

描述商品在市场中需求与供给保持一致均衡条件的方式可以称作是经济均衡理论，即在经济生活消费者追求商品效用最大化，生产者追求利润最大化，在这个过程中，追求均衡商品价格的有效条件。通常分析均衡条件，需要以多变量方程组为基础，运用微积分知识展开对商品在市场供求条件下的边际分析，从中寻找到均衡商品价格的条件，从而实现经济的一般均衡目标。经济均衡的分析思路，是由商品供给、对要素的供给以及人们对商品的需求、对要素的供给进行分析，最后到商品市场以及要素市场发展的一般均衡。在这个分析的过程中，需要使用微积分知识对此展开全面的分析，从而得到准确的条件，才能促使市场经济达到均衡。

3微积分在经济学中的运用

3.1经济学中运用极限知识

微积分最基础的知识便是极限，其中大量的理论知识、概念等都通过极限来表达。高等数学高于初等数学知识的关键便在于，高等数学可以通过极限解决初等数学知识无法解决的问题。反观经济学发展中，很多内容与极限相关，在此笔者便以连续复利计算中对极限的运用为例。设目前在银行的存款为a，将来存款值为b，銀行的年利率则为c，则在n年后的本金与利息、将来存款值b的计算方式应为：b=a（1+c）n。若是在一年内按照p次计算复利，则各个时期的利率则应为c/p，而在一年以后本金与利息和的计算公式则为b=a（1+c/p）p。故而，n年之后本金与利息和为b=a（1+c/p）np。按照微积分中极限知识的角度分析，当p为正无穷大时，n年之后的本金与利息和计算公式为b=lima（1+c/p）np=aeπ，本公式证明在计算无穷的前提下，现在的存款值与将来存款值之间的关系。假设现在存款值a=1，利率c=100%，n=1，根据上面的计算公式可得出b=e。该事例向人们证实，在当前的经济模型中，若是特定的参数值与特殊数值相近，尤其是与0或是无穷大接近时，从微积分中极限思想的角度间分析，能够有效简化分析和计算的过程，开拓经济学分析的思路。此外，还可以运用极限知识计算经济学中的无穷期贴现值等相关内容。

3.2经济学中运用积分知识

商品机制和价格之间出现的差额概念是消费者剩余，也可以说是消费者按照自身使用商品愿意付出的价格与实际付出的商品价格之间的差额。在经济学中，计算消费者的剩余，能够了解市场经济主体利益以及市场结构的真实发展情况，对于解决市场与商品、消费等有关的经济学问题有着重要作用。市场经济中有一种结构为需求者有限且对商品的需求为离散型，对于此种结构，消费者剩余的计算方式可以运用累加的形式；但是，若是为连续需求函数关系，消费者剩余则需要运用积分进行计算。同时，积分在经济学中的运用，另一个方向则为微分的逆运用，主要是利用已知的边际利润、边际成本以及边际收益的函数，对其进行积分处理，从而得到商品的生产函数或是需求函数。可见，积分知识在经济学以及经济发展中具有重要作用。

3.3经济学中运用导数知识

导数是高等数学知识的关键成分之一，在数学知识作为有效工具与各学科研究交叉的过程中，导数知识贯穿始终，同样，经济学中也积极利用导数知识。导数在经济学的分析工作中，占据重要的位置，推动其变革，可以运用导数知识解决定量分析中无法解决的困难。导数在经济学分析中运用具有典型色彩的为经济变量弹性研究与边际分析。边际分析的主要内容为边际利润、边际收益以及边际成本三个方面。可以理解为边际成本属于总成本函数c（q）与产量q之间的导数，从经济学的角度可以解释为：若是产量为q，则再次增加一个单位的产量，即△q=1时，总成本的增加则应表示为△c（q）。例如：产生的生产单位为q，总成本的计算函数则应为c（q）=500+0.5q2；若是生产量确定为q0，那么此产品的边际成本应MC按照MC=c/（q0）=q0。若是q值为100，则MC的值为100；若是q值为80，则MC的值为80。由此可知，若是知道利润函数和收益函数，则利用导数知识分析生产厂商的边际利润和边际收益。

此外，导数在经济学中的运用还表现在弹性分析方面。函数自变量的相对变量与相对变量之间商的极限，可以理解函数在该点上存在弹性。经济学中运用导数的弹性知识，主要用来衡量经济模型中两个变量之间的敏感程度，包含商品需求交叉弹性以及需求价格弹性等。

总结

微积分是高等数学知识的基础，在经济学中得到广泛的运用，本文中对微积分在经济学中运用的认识仅是冰山一角。但是，仍旧可以从微积分在经济学中的基础运用方式得知，微积分为经济学面向定量化、数学化发展奠定基础，对经济学运用更高级的数学工具起到促进作用。因此，数学以及经济学方面的学者应积极探索二者的有效融合。

参考文献：

[1]尚纹羽.微积分思想及其在经济学领域中的应用探析[J].智能城市，2017.

[2]许天慧.浅谈微积分思想及其在经济学中的应用[J].科技视界，2015.

[3]沈奇.微积分及其在经济学中的应用[J].赤峰学院学报（自然科学版），2014.

编辑/岳凤