把习题开发成课题 创造更多的“悟化成果”

/李相林

在习题教学中，能否以任务的方式进一步引导学生深入研究，带领他们创造出一片未知的天地呢？下面，我们以旧版苏教版教材五下中“”这道习题的教学实践为例来进行探讨。

一、重“点”，变习题为例题

这是一道比较单纯的数学习题，完美地诠释了几何直观的价值。学生初见惊叹，但到后来，只要遇见“”就直接用1减去最后那个分数，其中不乏生搬硬套，其承载的几何直观能力培养的价值并没有真正得以实现。由此，我们准备用任务的方式驱动学生“小题大做”一番。

我们首先变这道习题为例题，进行重“点”宣传：一是让学生在表示单位“1”的正方形中尝试表示算式；二是让学生把算式和图形联系起来想一想，原来的算式应该怎样转化？重点突出了几何直观的两个关键——描述和分析（问题）。这样一变，就变出了“直观感知”的学习力，全班学生都能借助直观图来求解问题。在新版教材中，这道习题成了例题，与我们的尝试不谋而合。

二、延“线”，变习题为专题任务

以任务驱动提升学生的数学研发力，需要突破浅表的“直观感知”层面，向教学更深处——“直观理解”延伸，将图示与算式建立对应关系，理解图示本身各部分间的关系，从而借助直观图分析、解决问题。

（图1）

我们继续据“点”延“线”，将这道习题设计成专题任务，以期获得更多的“悟化成果”：（1）增加尾数：（2）变加为减：；（3）变增为减：。在题组任务探究中，学生受益于题（2），在用图形描述难度系数较高的题（3）时，为了建立直观图和算式的对应关系，他们在原始图上进行框注，分解出了新的图示（如上页图1），进而用“”求出结果。

三、拓“面”，变习题为课题

“直观推理”是“直观理解”更高层面的发展，对学生特别是一些学有余力和学有潜力的学生的学习动力、毅力和能力的提升有着巨大的价值。认知心理学研究表明：当个体在某一方面有着丰富的知识经验时，他就有可能进行更高级的思维。我们由“线”拓“面”，变习题为课题研究任务：怎样运用直观图形分析、解决“”？按照这样的思路，你还能求出哪些算式的结果？能写出其中蕴含的规律并做出解释吗？让学生以小组合作的方式在独立思考的基础上合力攻关。

1.研究课题，发展直观洞察能力。

（图2）

（图3）

这个直观图的核心是“用简单的空白部分间接求出复杂的阴影部分”，而让空白部分变得简单得可以直接表示是描述问题的关键所在，要想不出现新的空白，就得不断给分数照镜子，这样每次剩下的空白部分就是正在表示的这个分数。学生给“”的直观图起了个形象的名字——“照镜子图”。

（图4）

还有学生产生了新的“悟化成果”，提出用圆形和长方形也可以描述算式（如图4），由此，学生认为，“”问题也可以用其他图形或其他分法来描述。

为了完成这个高思维含量的任务，学生经历了长时间的反复琢磨与尝试，聚焦“空白点”，透过“”图示中每次对应分数的自然形成，实现“”图示中每次对应分数的人工促成，在图形直观上思考得更清晰、更深入、更合理，他们的数学研发力得到了实质性的提升。

2.研究课题，生长直观推理能力。

（图5）

任务深入到这种程度，学生的几何直观能力达到了新的高度，他们沉浸其中，欲罢不能。对于后面的任务，学生自己如法炮制，由“”研创出“”的情形（如图5）：；从而得出：；最终研创出这样一个结论性的悟化成果：为≥2的自然数），这不就是关于几分之一等比数列的求和公式吗？

这种推理是建立在对直观图本质洞察基础上的直观推理，是借助直观图顺利解决“”问题之后，在充分积累经验的基础上提出的。这个直观图可以是任何一个几分之一的图示，并通过由图到算式的直观推理直接提出关于“”的求和算式的算法。学生眼中的结论并非一道抽象的代数式，其背后隐藏着一幅直观图，用学生自己的话说，就是“整个图形是几（n－1）个自己（加法算式）与小空白的和，因此，求自己只要用‘1’减去小空白再除以份数即可”。这种直观推理实质上是科学归纳推理，其核心是真正揭示了对象及其属性间的因果关系，并以此为依据由点及面推出结论，虽未给出严格的演绎证明，但其中的分析成分又相当于演绎推理，学生对结论能给出令人信服的说明。

在变习题为课题的任务驱动式学习中，学生由特殊到一般趁势融通，将丰富、深刻的认识提升到理性层面，其悟化成果达到了知识的高点，这在小学教学中无疑是难能可贵的，学生特别是一些学有余力和学有潜力的学生需要更多这样的课题。