做思结合促进学生内化数学概念

吴碧云

数学概念是数学知识的基础，正确地理解和掌握数学概念是学好数学知识的前提和保障。那么如何让枯燥、抽象的概念变得生动有趣，提高课堂教学效果，让概念在学生心中得到完美内化？美国教育家杜威从他的“活动”理论出发，强调儿童“从做中学”和“从经验中学”，见解颇深。基于此，笔者认为可以从以下几方面入手。

一、经历背景，感悟特点

数学概念是有形成背景的，让学生明白数学概念产生的原因和特点，有利于学生理解新概念。在教学中，许多数学教师不重视这一环节的设计，而是采用直白式教学。如认识扇形统计图，教师采用告诉式教学：表中要统计的是部分数与总数的关系，选用扇形统计图比较合适。虽然这句话很容易理解，但很多学生却知其然而不知其所以然。这时，可以增设概念背景教学环节，向学生提出问题：要画出部分数所占总数的百分比，可以用什么方法？学生通常会想出三种方案：画线段图表示、画正方形或长方形方格表示、画扇形图表示。让学生进行画图对比，他们会发现，如果要比较精确地表示百分比，就要把线段平均分成100份，把正方形或长方形平均分成100小格，画图时间太长且不容易做到精确。用线段图时，所占百分比是与原线段重叠的一部分线段，不直观；用方格图时，相对直观，但图形显得不完整；而使用扇形图表示百分比时，以圆形表示总数，无论圆的直径多大，只要用360度乘以部分数所占的百分比就可以算出扇形圆心角，不必把圆周均分为100份，且由于扇形是圆的一部分，总数与部分数的关系可以呈现得非常直观并美观。可见，增加概念背景的教学，可有效帮助学生理解新概念。

二、交流认识，深化理解

语言是思维的外壳。首次接触新概念，学生的第一印象最深刻。让学生尝试说一说自己对概念的理解，有两方面的好处：一是同龄人的语言交流使学生能听得更明白，更易于理解新概念，并使学生在交流中认识概念的属性；二是可以锻炼学生的数学表达能力，训练逻辑思维。

例如教授百分数概念时，可以让学生说说“百分数为什么是特殊的分数”。学生的理解是多样化的：有的说“特殊在百分数只表示两个数的倍数关系，不表示具体的数量”；有的说“特殊在它的写法上有特殊的符号%，不用约成最简分数”；有的说“百分数的分子可以是任何数，小数、整数均可，可以分子大于分母或小于分母”；有的说“正因为百分数是表示两个数比较的结果，标准始终是100份，与它比较的量就可能是这样的1份、0.8份、236.1份……所以分子可以是任意数”。可见，让学生用自己的语言描述概念的定义或者解释某一数学原理，说出自己的思考或表述自己的发现，使学生的学习热情更高、智力活动更活跃，有利于学生深入理解概念，透过表面看实质，发展求同和求异思维。

三、直观凸质，丰富表象

“没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的。”数学概念教学中，运用直观手段是丰富学生表象积累最有效的方法。苏霍姆林斯基说：“直观手段应该使学生把注意力放到最重要、最本质的东西上去。”

例如二年级教授“观察物体”时，要让学生通过观察认识到：从正前方看过去，圆柱体的侧面是一个长方形。学生很难建立这一表象，总认为所观察到的上方与下方是曲线，不是一条直线，所以直接观察是模糊的。要怎样改进呢？可借助光的影像原理。教师可开启手机中的手电筒功能，用手电筒分别对着圆柱体的上面与下面、左面与右面照射，使学生看到它在黑板上的投影是一条直线而不是曲线，帮助学生形成直观印象。

又如三年级认识“倍”时，观察比较2个苹果与6个梨的数量关系，可以进行差比，差比是一一对应关系，梨比苹果多4个。还可以把2个苹果看作一份，6个梨就可以分成3份（一份与一份间可稍微隔开），然后引导学生观察思考这3份是怎么来的。这时大数与小数关系不是差比关系，而是大数里包含几份这样的小数。让学生在观察中体会到“几倍”这一概念的关键点，就是除法概念的拓展。借助有效的观察思考，帮助学生建立丰富的表象，促进数学概念的内化。

四、拓展延伸，完善建构

以问题驱动，让学生带着思辨进行探究，伴随着质疑、判断、分析、综合、概括，从外显走向内隐，从而建构出清晰的数学概念，形成知识体系。例如教授“循环小数”时，教材中提出问题：两个数相除，如果得不到整数商，所得的商会有哪些情况呢？学生各自列出许多算式计算，发现所得的商不是有限小数就是循环小数。传统教学模式是教师指导学生认识“循环小数”，之后课程就结束。这个教学过程只是对两个数相除的结果进行分析，没有对产生结果的原因进行分析。在教学中，教师需要引导学生思考，让学生认真观察两数相除的结果，此时学生就会产生很多疑问；然后组织学生进行讨论思考，学生会提出问题：什么时候所得的商一定是有限小数？为什么除不尽时，商一定是循环小数而不会出现无限不循环的情况呢？并会针对此问题展开探究。

对于第一个问题，学生发现一个数如果除以10、100、1000……这样的数，都可以化成有限小数，而10、100……这样的数总是可以分解成只有2、5或2和5相乘的形式，由此获得数的共同规律：通过商的变化规律能把除数变成只有整数因数2或者5，这个除法算式的商一定是有限小数。运用这个规律可以很快发现“4÷25、14÷20、19÷8、29÷125、12÷15（被除数与除数同时除以3变为4÷5）”等的商一定是有限小数。

那么为什么除不尽时，商一定是循环小数而不会出现无限不循环的情况呢？是因为除不尽时余数出现了重复，商也就随之出现重复，就产生了循环。那么余数有可能不重复吗？答案是不可能，因为余数总是比除数小。比如除以7，余数当然只可能是1、2、3、4、5、6这6种情况，所以至多除到7次，余數必定会出现重复，所得的商就出现循环。因此，如果除不尽时，不可能出现不循环的现象。

以上探究过程把循环小数的来龙去脉探索得清清楚楚，把循环小数、小数意义、商不变的性质、余数的知识充分融合在一起，形成一个有机整体。总之，在数学概念教学中，要通过各种生动活泼的方式调动学生的思维，使概念完美地内化为学生脑中的知识建构。

（责任编辑 张慧籽）