从量到算，发展学生空间想象能力

李慧敏

【教学内容】人教版《数学》三年级下册P66—67.

【教学分析】从教材编排上看，长方形、正方形的面积属于“图形与几何”的领域.一年级下册教材已经直观认识长方形、正方形、体会面在体上；二年级下册教材则认识了长方形和正方形的特征；三年级上册探索并掌握了长方形和正方形的周长的计算方法；三年级下册安排学习什么是面积、面积单位、面积单位换算、长方形的面积.所以，这一课的学习非常重要，为第二学段学习其他平面图形的面积以及立体图形的表面积储备了必要知识.

“长方形、正方形面积的计算”是学生学习面积计算的起始课.在学习本课之前，学生已经较好地掌握了用“数”和“算”小正方形（面积单位）个数的方法求一个图形的面积，对于图形大小的概念是建立在数小方格的基础之上，这是本课教学的起点.

【理论支撑】荷兰学者范·希尔夫妇依据儿童思维发展的阶段性，提出了几何思维的五个水平：视觉、分析、非形式化的演绎、形式的演绎、严密性.

【学情分析】以往，对学生进行前测中发现：知道用“长×宽”的方法计算长方形面积的学生约占41%，但在“为什么可以这样算”的问题上，没有一名学生能说清楚，甚至很多表示并不知道为什么可以这样算.从学生的学习难点看，学习本课的最大的难点不是记住面积计算公式，而是理解“为什么测量出长和宽的长度，相乘之后就是面积？”仅仅是通过像教材上的列表那样用找规律就能理解吗？从计量的角度看，从计算面积单位的个数到长乘宽，是从“一维”转向“二维”，从测量为主转向计算为主，这是空间想象能力的跨越.对本课长方形、正方形面积而言，这样从“量”发展到“算”的过程是要通过空间推理得到的.

一、重温旧知，导入新课

（一）复习

1.边长是1 cm的小正方形，面积是多少？

2.用这个面积是1平方厘米的正方形进行测量，下面的图形面积分别是多少？

（1）这些图形，你是怎么看出他们的面积？

（2）为什么图形的形状不一样，面积却都是6平方厘米？

（每个图形里面都包含了6个1平方厘米的单位面积）

（二）对比观察：要知道一个图形的面积，就是要知道什么？

小结：图形的大小是由这个图形里面包含的单位面积的个数决定的.

【设计意图】利用单位面积求不规则图形面积.不仅让学生开始熟悉将要学习的内容，也引导学生在比较中发现面积的大小就是单位面积个数这一要素，使学生逐渐熟悉这一结构的特征.活动不仅为发现关系提供引导，还有利于学生空间观念的发展.

二、新授展开，理解算法

活动一 用15个1平方厘米的小正方形测量1号长方形的面积

1.这个长方形的面积是多少呢？用刚才的方法，摆一摆数一数.

预案1：摆满

师：一目了然的摆法，大家都看懂了.

板书：每行摆5个，摆了3行，一共15个（面积是15平方厘米）.

预案2：摆一行一列

师：为什么这样摆？怎么看出有3行？

生：这里竖着排三个，说明他们的这一边也有小正方形（比画着）排三个，就是有三行.

师：这是想象加上推理，真了不起.

2.反馈：隐藏的长方形有多大？想一想，比画一下.

预案：长摆6个面积单位，宽摆了2行，就是2个6，一个是12个面积单位.

追问：你怎么知道宽摆了2行，你是怎么看出来的？

这个隐藏的长方形有多大？

先想一想，再比画一下

这个隐藏的长方形有多大？

先想一想，再比画一下

3.小结：知道了长摆的个数、宽摆的个数，就可以确定这个长方形的面积了.

活动二 我们能不能用更少的小正方形测量2号长方形的面积（12平方厘米）

1.全班操作，汇报

预案1：摆一行一列

预案2：边上空的地方为什么正好可以摆1个？

预案3：摆1个

思考：像这样用一个小正方形测量的时候，会遇到什么困难？怎么解决？

引导学生发现可以用做记号的方法.

预案4：出示用尺子测量.

引导观察，你们刚才做的记号与尺子的刻度有什么关系？

课件呈现做记号的方法.

归纳长方形面积=每行摆的个数×行数.

课件呈现用尺子测量.

明确长方形的长边厘米数与每行摆小正方形的个数对应，长方形的宽边厘米数与摆的行数对应.

在讨论中，学生发现，长和宽的厘米数对应的是沿着长和宽可放的单位面积个数.

活动三 验证推理，夯实结论

这个推理结果也可以用在其他长方形面积计算中吗？现在，我们用这个方法算一算刚才测量过的1号图和2号图的面积.

活动四 应用理解，回顾发现

1.归纳长方形面积计算方法.

通过刚才的活动，我们知道了长边的长度就知道一行摆几个，知道了宽边的长度就知道可以摆几行.

2.独立完成以下练习.

学生汇报时师追问：长是9，标识每行摆几个面积单位？宽是4呢？

回顾与反思：刚才我们是怎样确定长方形面积的？

仔细观察，你有什么发现？

板：长×宽=长方形面积

反馈练习：这个变化中的长方形面积分别是多少？（动画出示长方形，长边不变，寬边不断在变）课件列表

预案：长不变，宽不断减少，面积也少了.

4.推导正方形面积

正方形的面积计算也存在边长的长度和面积单位个数对应的问题吗？（课件继续变化，长方形长宽一齐减少至相等）

板：边长×边长=正方形面积.

小结：无论是长方形还是正方形的面积计算方法，都是计算它包含了几个小正方形（面积单位）.

【设计意图】在这样不同层次的活动过程里，用作测量的单位面积经历了从够用到不够用（逐渐减少），再到弃用，逐渐减少了直观促进学生发现量的对应关系.根据预设，力图抓住联结点——6个小方块的不同摆法.这样不仅仅是让学生多样化地解决问题，更重要的是让学生从已摆的位置推测出未摆的小方块的位置和数量，从而通过思考1个长度单位和1个面积单位之间量的对应关系，发现在长方形中长与宽之积的量与面积的量的对应关系.

三、巩固练习，拓展应用

刚才我们学会了计算长方形和正方形面积的新方法，一起来试一试.

1.计算下面图形的面积

长： 厘米边长： 厘米

宽： 厘米面积： 平方厘米

面积： 平方厘米

引导1：要求面积，要知道什么？

引导2：对比观察，发现了什么？

2.你能算出下边的面积是多少平方厘米吗？

提示：每个蓝色小正方形表示1平方厘米

思考：长是多少？宽是多少？

3.应用：这块打破的玻璃面积是多少？

4.拓展：出示一个三角形，它的面积是多少？你有什么办法解决？

【设计意图】在应用中思考，在思考中应用.学生积累了应用经验，教师与学生共同总结发现规律，并用数学语言进行概括提升，进而再回到应用中.

四、全课总结

五、课后作业

1.完成书本P68第2、3题.

2.和爸爸妈妈说一说长方形、正方形面积计算的道理.

六、板书设计

长方形、正方形面积的计算

长方形面积=长×宽

长方形面积=每行摆的个数×行数

一共摆了15个=每行摆5个×摆了3行

一共摆了12个=每行摆6个×摆了2行

一共摆了12个=每行摆4个×摆了3行

一共摆了4个=每行摆2个×摆了2行

正方形面积=边长×边长

正方形面积=每行摆的个数×行数

一共摆了4个=每行摆2个×摆了2行

教学反思：从“量”发展为“算”的发展，意味着知识的发生发展可摆脱直接经验的局限，有可能成为一个独立的发展体系.

对长方形、正方形的面積来说，从“量”发展为“算”的过程是通过空间推理得到的，所以本课重点是让学生充分经历数学模型的建构过程.