聚焦概念本质 锤炼数学思维——“周长的认识”教学磨课

□ 夏杭英

小学数学概念教学是让学生理解概念的内涵及本质属性，掌握概念的外延及特征、性质与规律，并能正确运用概念进行思维活动的教学。从定义上看，概念其实是思维活动的结晶，概念的获得不是一蹴而就的，而是对众多现象进行抽象概括的过程。这个学习的过程，也是学生思维能力逐步提高的过程。那么，在小学数学概念教学中，聚焦概念的本质学习，锤炼学生的数学思维就显得至关重要了。本文以人教版三上“周长的认识”一课磨课经历为例，展开阐述。

一、聚焦概念本质

在实际概念教学中，教师常常围绕概念设计一系列活动，但是这些活动是否真正体现概念的本质，对学生的数学思维发展是否真正有帮助呢？这就需要教师在完成教学设计后，对环节目标、教学内容、教学方法等进行本质的追问，从而使教学设计能够有效聚焦概念的本质。

（一）环节目标是否指向本质

环节目标指教学环节各部分的小目标，是整堂课教学目标的一部分。概念的本质指概念的本质意义。每一堂数学概念课设计后，我们需要对每一个环节目标进行追问：这个数学概念的本质是什么，环节目标是否指向这个概念的本质？

“周长的认识”一课第一次试教的各环节目标与展开是这样安排的。

1.揭示周长概念：你能指一指它（指巨型蘑菇模型图）的周长吗？学生多个指了以后，小结：从起点开始再回到起点，就是一周的长度，就是这个图形的周长。

2.辨别描出周长：请描出这些图形（见下图）的周长，第五个图形你遇到了什么问题？（不是封闭图形，通过讨论揭示封闭图形，再把它补成封闭图形）

3.图形里面的线是周长的一部分吗？中间加一条线，你还会指出它的周长吗？

4.周长的长短受什么影响：把这个三角形剪一刀让周长更长，你行吗？如果是更短呢？

5.联系生活实物：找一找身边的物体，选其中的一个面，摸一摸它的周长。

6.测量周长：小组合作选择合适的工具测量这些图形的周长（三角形、长方形、五角星、圆形），重点展示各种方法。

7.拓展题：一个长方形把它变成两个周长相等的图形，你有什么办法？

课后反思追问：周长的本质是什么？一周的长度是周长，这是最本质的意义，可以用“从起点开始再回到起点”这样的描述来帮助学生理解。封闭图形也是周长意义的一部分，是需要让学生感受和学习的。那么，图形里面的线要不要算为周长，周长的长短受什么影响，用多种方法测量这几个图形，是否就掌握周长概念最本质的意义呢？

经过这样的追问，教学设计进行了调整，第1、2环节保留，3和4环节被删除，6测量周长仍然保留，但是重点调整为利用测量巩固周长的意义，周长是哪几条？我们怎么量？让学生通过操作感知到，把所有的周长的线条量出来再加起来的和就是这个图形的周长。

环节目标是推进核心目标达成的重要部分，像这样对环节目标进行本质追问，可以帮助教师真正聚焦概念的本质，让课堂学习简洁有效。

（二）教学内容是否指向多维

教学内容指教师选择的供学生学习的内容，倾向于学习素材。多维指多背景、多层次、多侧面、多结构。概念教学设计完成后，教师需要对每一个学习素材进行分析：这些素材是否体现了多维学习？

我们来看“周长的认识”第一次试教的学习素材。

内容1：视频新闻：巨型蘑菇介绍

内容2:五个图形描周长

内容3：一个三角形剪一剪

内容4：身边的实物，按学生说的随机

内容5：四个图形纸片：三角形、长方形、五角星、圆形

内容6：一个长方形一分为二后周长相等

不难发现，整堂课的学习内容只选择了蘑菇（视频呈现）、身边的实物（限于教室）和五种基本图形，难以体现多背景、多层次、多侧面、多结构的要求。

调整如下：

1.在说说身边的实物这一环节中，增加了篮球场、游泳池等教室外的场景，体现多背景。

2.周长的学习除了规则物体外，还可以是不规则物体，增加人的腰围、树叶的边缘等内容，体现多侧面。

3.测量周长时选择了三角形、长方形、五角星、圆形，把第一个三角形改为不规则图形，从不规则到规则再到圆形，体现多层次。

经过这样的调整，学习素材仍然比较简洁，但是已经包含了多背景、多侧面、多层次的要求，尽可能让小小的数学课堂给学生展现一个大世界。在这样的大世界中，通过对多种事物本质属性的概括，最终形成概念，聚焦概念的本质学习。

（三）教学方法是否指向经历

教学方法指教学过程中教师教和学生学的方法，概念教学需要学生经历概念产生发展的过程或者由来等。概念教学设计完成后，需要对教学方法进行剖析：怎样让学生经历过程？

“周长的认识”一课需要让学生经历周长概念产生的过程。

1.直观模型，经历具体到抽象。引入环节采用的是一则新闻视频，介绍云南某地发现一个巨型蘑菇，周长1.8米。视频播完后，教师拿出一个蘑菇的平面模型，用直观模型让学生经历从生活实物中抽象出图形的过程。

2.指指描描，经历周长的产生。通过指一指巨型蘑菇的周长，让学生经历一周的长度是从起点出发再回到起点，这样才是一周。通过不同的起点的选择还让学生明白，一周的起点可以是任意一个位置。再通过描一描图形的周长，从视觉到触觉，切实体验周长的产生过程。

4.方法优化，经历测量的进化。测量五个从不规则到规则图形的周长的过程，一定程度上也反映了测量方法的进化过程。首先不规则图形只能是一条边一条边地量，到规则图形，发现不用全部量，可以量一部分，其他的计算；再到圆形，发展到化曲为直的方法。这样让学生在操作的同时，感受到方法的多样性，经历了方法的优化过程。

这样让学生充分经历“周长从哪里来，是什么，有什么特征，又到哪里去”的这样一个过程，使学生充分理解周长，从而掌握周长的概念本质。

可见，在学习数学概念时，让学生经历概念的来龙去脉，能更好地帮助学生理解概念的本质。

二、锤炼数学思维

数学思维是一种以数学概念作为基本要素、以符号语言作为媒介、用数学方法对数学对象进行思考分析，进而解决问题的能力。数学思维是多种思维能力的综合运用。可见，锤炼学生的数学思维，提升学生的思维能力，是我们数学课孜孜不倦并持之以恒的奋斗目标。

（一）操作活动中感知数形结合

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。数形结合的应用大致可分为两种情形：“以数解形”“以形助数”。

1.以数解形理解周长本质

以数解形指借助于数的精确性来阐明形的某些属性，在本课中指借助巨型蘑菇的周长来阐明周长的本质。

播放新闻视频，出现巨型蘑菇“周长1.8米”，这是首先在学生头脑中建立数，让学生初步感知周长。然后教师用图片把巨型蘑菇抽象成一个图形，问：周长1.8米指的是哪里？让学生直观地把1.8米和图形的周长建立了联系，从而明确周长的本质意义。

像这样，先有数的具象，再到形的表象，两者合二为一后，凝聚成概念的本质。

2.以形助数丰富周长内涵

以形助数指借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，在本课中指借用图形的直观特征来丰富周长的内涵属性。

在揭示周长本质概念后，本课出示了以下五个图形，让学生来描出周长。在描的过程中，学生从图形的辨析中会发现，第五个图形的周长没办法描出来，从而引导学生理解原来周长是要封闭图形才能有的。

后面的测量环节，就是采用数据来进一步丰富周长的内涵。通过测量，学生深刻体会到周长就是把一周的线的长度量出来。

在这里，是先有形的表象，再有数的充实，两者合二为一后，丰富了概念的内涵。

（二）区别分辨中产生创造思维

创造性思维是当今教育越来越重视的一项能力，也是数学课中的点睛之笔。“周长的认识”通过三个环节来进行渗透与熏陶。

第二个环节是测量周长的方法多样化探索。你能想办法知道这几个图形的周长是多少吗？你还有其他的办法吗？启迪学生开动脑筋，创造新的方法。

第三个环节是“一分为二”，你有多少种方法？

一个长方形把它分成两部分，使两部分周长一样长，你有几种方法？学生的思维非常活跃，从有规则的到不规则的，花样繁多，也体现了学生思维的创造力。

概念的学习过程也是学生思维发展的过程。设计开放型的思维活动，引导学生乐于思考、敢于创新，又能从不同事物中概括出本质属性，可以让学生既掌握了概念，又发展了思维。

（三）视觉冲击中发展空间观念

空间观念，因其具有规则的几何形状、大小和位移，能给人强烈的视觉冲击。而低段小学生的空间概念基本是通过观察建立，通过实践操作佐以比较思考的心理活动后形成的。那么，怎样通过视觉冲击，来发展学生的空间观念呢？

1.从屏幕到实物，视觉转化中完成抽象

发展空间观念的一个重要部分是学生能根据物体特征抽象出几何图形。要从实物的一个面对应到一个图形，可以认为是一种视觉转化，我们可以通过从屏幕到实物的转化，让学生在视觉冲击中完成抽象。

第一个视觉冲击是教师引导下的，视频播放中让学生感受巨型蘑菇，然后教师拿出一个缩小版的蘑菇图片，把学生的视线从屏幕转化到实物。让学生明白，原来生活中的实物可以用图形来表示，而且还可以缩小一定的比例，从而帮助学生抽象出几何图形。

第二个视觉冲击是学生自己在实物中寻找周长，找一找生活中的物体，说说它某一个面的周长。让学生主动完成从实物到图形的抽象过程。理解原来我们学的周长，在生活的物体中到处都是。

课堂资源是有限的，屏幕可以呈现的资源是无限的，但是仅仅是屏幕给学生的感觉却并不真实。因此从屏幕到实物进行视觉转化，能够帮助学生主动完成抽象的建构过程，发展思维。

2.从图形到实物，视觉想象中做到联想

要从一个几何图形想象出实际物体，也可以认为是一种视觉想象。我们可以通过从图形到实物，帮助学生在视觉想象中联想到几何图形。

“周长的认识”一课在学生指了许多实物的周长后，教师出示一个圆形，问：“你觉得这个图形有可能是在求我们生活中哪些物体的周长？”

短暂的沉默后，学生畅所欲言，有月饼、硬币、月亮、太阳、篮球……当教师出示一个人在量腰围的情境图时，学生有种“山外有山”的惊叹，紧接着头围、运动轨迹、赤道长等也应运而生。

第三个视觉冲击，是最后拓展环节“一分为二”。一个长方形把它一分为二，使两部分周长一样，你有几种分法？一开始学生的作品都是分为面积相等的两部分，周长也一样相等。当教师出示这样一幅图时，引发了学生的争议：看起来明显不一样的两块图形，为什么周长偏偏相等呢？

在这样的视觉冲击中，通过对比、位移，让学生从周长的本质出发来思考，发现两个图形的周长果然是一样的。再让学生创造方法就一点都不难了。

综上所述，小学数学概念教学，要聚焦概念本质的学习，努力让环节目标指向本质，教学内容指向多维，教学方法指向经历，从而锤炼学生的数学思维，提升学生的思维能力。

编后记：

课例研究是实现“教研相长”的主要方式和途径，而要让其真正发挥好作用，一是要明确和“规整”主题（课例主旨设计理念），夯实环节，并以磨课、上课等行动促目标达成。二是要重视和“卷入”教师（课例研究共同体），深化过程，并以研讨、整理等方式促成果“固化”。就成果整理而言，参与研究的老师要结合自身的实际情况并选择适切的方式进行，就同一课例而言，可以选择“教学设计”“教材解读”“教学磨课”“教学反思”“教学例谈”等某一种“体例”形成书面材料，从而也为自己找寻到一种教学论文（文章）撰写的起动方式，由此也更好发挥出“研课”的“溢出”效应。这实际上也是教师从事教学研究的题中应有之义。浙江省杭州市富阳区团队开展的有关人教版三上“周长的认识”一课的课例研究以及形成书面材料（文章）较好地诠释了这一主张，本期特选择其中两文并行刊发，希望能给一线教师有所启发。