巧用三角形定则破解相对运动疑难问题

(江苏省如东县马塘中学，江苏 如东 226401)

在高三力学专题复习阶段，关于求解“两根动直杆交叉点合速度大小和方向”之类的相对运动问题，是学生们感到困惑的难点。事实上，只要根据“运动合成与分解”的基本方法，找准根据、重视过程、巧妙变通，灵活运用与平行四边形定则本质一致的三角形定则，这类疑难问题就能迎刃而解。

图1

经典例题:如图1所示，在同一竖直平面内，直杆甲和乙足够长，与水平面夹角分别为α=30°、β=45°。当两杆分别以水平速度v甲=4m/s向右和v乙=6m/s向左在两杆所确定的竖直平面内平动时，求两杆交点P的速度。

方法1:应用速度分解，组合新三角形求解。

解题依据：P点实际速度vP按照平行四边形定则分解，平行四边形定则又可简化为三角形定则。对甲杆，如图2所示，vP分解为沿着甲杆向下分速度v甲1和水平向右分速度v甲。对乙杆，如图3所示，vP分解为沿着乙杆向下分速度v乙1和水平向左分速度v乙。

图2

图3

图4

方法2：应用速度分解，构造四点共圆求解。

解题依据：如图5所示，P点速度按平行四边定法则可进行4次分解：分解为沿着甲杆方向分速度v甲1和水平向右分速度v甲，得矢量△PCE；分解为沿着乙杆方向分速度v乙1和水平向左分速度v乙，得矢量△PDE；两次正交分解得矢量直角△PAE和△PBE，它们有同一外接圆，即P、A、E、B四点共圆(圆未画出)，vP为该圆直径。

图5

设图5中vP方向与甲杆夹角为α1，则v1=vPsinα1，代入数据得sinα1≈0.461，即α1≈27.5°，vP与水平方向夹角为α2=α+α1≈57.5°，两种方法结果一样。

现对上面两种解法及结果评析如下：

(1) 解题依据一致。都采用了“运动合成与分解”的思想观念，灵活运用平行四边形定则即三角形定则进行矢量运算。

(2) 求解过程推证周密。方法1中由两个矢量三角形巧妙地合二为一，在新三角形中运用余弦定理和正弦定理，通过求解三角形得解。方法2中灵活变通出两个矢量直角三角形，且有同一外接圆，用余弦定理和正弦定理推论，求解圆直径得解。求解过程都是由矢量关系图与数学定理公式相结合，数学上称“数形结合”，即物理上的“图式并用”。

变式训练：仅将前例中乙杆速度方向改为竖直向上，其他条件不变，求交点P的速度。

方法1：应用速度分解，组合新三角形求解。

图6

方法2：应用速度分解，构造四点共圆求解。

图7