巧借集合运算理解简易逻辑

吉林省实验中学 王 磊 施丽娜

数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。在现代社会中，数学教育是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用，数学的基础教学任重道远。

普通高中数学课程标准指出：正确地使用逻辑用语是现代公民应具备的基本素质，无论是进行思考、交流还是从事各项工作，都需要正确使用逻辑用语来准确表达自己的思维。那么在实际教学中，怎样帮助学生更好地学习和理解这部分内容，值得一线教师去思考。经过课堂实践教学经验表明，将学生熟悉的集合关系和集合运算与逻辑部分对照教学，可以取得意想不到的学习效果。现分以下几种情况进行阐述：

一、“集合的包含关系”与“互为逆否命题的两个命题同真同假”的对照教学

对“互为逆否命题的两个命题同真同假”的理解是学生在简易逻辑部分学习中遇到的第一个难点。虽然我们可以通过对多个命题的分析，引导学生发现规律，但是总会给学生带来以点带面的遗憾。借助集合间的包含关系说明这一问题，则使学生理解起来简单明了。

若原命题“若p则q”为真，即研究对象只要具备条件p，则其必定满足结论q。我们不妨设P={x|x满足条件p}，Q={x|x满足条件q}，则命题“若p则q”为真可以理解为 ,则必有x∈Q成立，即 。研究逆否命题“若 则 ”，即研究对象不具备条件q，则一定不满足结论P。从集合角度理解，其含义为如果元素 ,则

。由于原命题为真，表示P是Q的子集，集合Q包含集合P，故此元素不属于集合Q，则其不属于集合P一定成立，于是原命题的逆否命题为真。若原命题为假，集合P和集合Q不存在包含关系，那么元素不属于集合Q，推不出该元素不属于集合P，其逆否命题为假。

二、“集合的包含关系”与“充分条件、必要条件”的对照教学

定义指出：“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得到q，我们说，由p可推出q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。为什么对q而言，p是充分的？为什么对p而言，q是必要的？

从前面的分析和设定可以知道，“若p则q”为真，可视为P是Q的子集。例如设集合P={x|x＞1}, 集合Q={x|x＞0},，那么x∈P，即 x ＞1的条件满足充分保证了x＞0，即x∈Q的成立，p的出现充分保证了q的成立；当x＞0时，未必有x＞1，但x如果都不能大于0，则它不可能大于1，故对于x∈p来说，x∈q是必要的。这样看来，“充分条件和必要条件”的称谓实至名归。

三、集合运算“交、并、补”与逻辑联词“且、或、非”的对照教学

通过学习我们了解到，对于逻辑联词“且”联接的命题，有下列规定：若p、q都是真命题，则命题P∧q为真命题；若命题p和q中有假命题（仅有一个或两个），则P∧q为假命题。再来回顾“交集”的含义：当x∈p和x∈Q同时成立时，才有x∈P∩Q成立；当x∈p和x∈Q只要有一个不成立时，x∈P∩Q就不成立。如果让“真”“假”分别对应“属于”“不属于”，那么“且”和“交”就取得含义和表达形式的一致性。

从“并集”的角度出发，可以更加清晰准确地理解对使用逻辑联词“或”联接的命题真假的规定。什么是P和Q的并集？它包含三个独立部分，分别是P∩CUQ、P∩Q、CUP∩Q，只要元素x属于其中的任何一部分，就都可以认为x∈P∩Q。刚好对应了“P∨q”形式的命题中，P真Q假、P真Q真、P假Q真时都是真命题，只有P假Q假时才是假的规定。

命题p和它的否定必定一真一假，若认为“命题p为真”对应“x∈P”,则x CUP,即命题p的否定“为假命题”；若“命题p为假”对应“x∈P”,那么“x∈CUPn”,即“命题p的否定 为真”成立。从补集的角度理解对命题p的否定，使得全称命题和特称命题的否定更加容易接受。

无论全称量词“任意一个”还是特称量词“存在一个”，强调的都是满足某个条件的元素的数量，例如“任何一个矩形都是平行四边形”，指出“不是平行四边形的矩形一个都没有”，即数量n=0，得到集合P=｛n∈N＊|n=0｝,而集合P的补集为｛n∈N＊|n＞0｝，可以理解为“不是平行四边形的矩形的个数至少有一个”，即“存在一个矩形不是平行四边形”。

从以上分析可以看出，在命题与集合之间，建立起逻辑联结词“或、且、非”与集合运算“交、并、补”的对应关系，体现联系的观点，借助已知去学习未知，用熟悉的内容理解陌生的知识，往往可以取得事半功倍的学习效果。