精致化教学：突破概念教学壁垒的尝试

江苏苏州市吴江区盛泽实验小学教育集团程开甲小学 李雪梅

概念是数学的细胞，也是学生展开数学思维的依据。在概念教学中，教师要引导学生对概念进行深度加工，让学生真正理解概念本质。很多情况下，学生的概念之所以模糊，是因为学生对概念没有本质的、结构性的把握。在数学教学中，教师可以以学生已有知识经验为载体，以学生的数学活动为过程，以概念结构的建构为依托，让学生全面把握概念内涵和外延。通过对概念的精致化建构，充分展现学生思维过程，让学生感受蕴含其中的数学思想方法，进而有效地实现“教与学”的价值。

一、知识经验，把握数学概念之来源

学生对数学概念的认知，必须依托学生已有知识经验。为此，教师要激活学生“知识经验”，运用学生“知识经验”，让学生把握数学概念之来源，如可以借助学生生活中熟悉的典型事物，可以借助学生已经掌握的数学知识，可以引导学生进行操作活动等。通过已有知识经验、生活经验、活动经验、操作经验，让学生逐步抽象、提炼、内化，建构概念。

例如，在教学“素数与合数”（苏教版小学数学五年级下册）时，这部分内容是学生在学习“倍数和因数”“奇数和偶数”以及 “2、3、5的倍数的数的特征”的基础上进行的。因此，教师可以将这部分内容嫁接在“因数和倍数”的知识经验基础之上，例如，教师可以指导学生拿一些小正方形去拼长方形，引发学生深度思考：为什么有些个数的正方形可以拼成不同形状的长方形，而有些个数的正方形却只能拼成同一形状的长方形？在学生对质数的本质内涵有了感性的理解后，可以让学生写出20以内数的因数，并让学生对20以内的数的因数进行分类。学生通过观察、思考，就能根据一个数的因数的个数将数分成三类（只有一个因数，只有两个因数，有两个以上的因数），而其中第二类就是只能拼成同一形状长方形的正方形的个数，第三类就是可以拼成不同形状长方形的正方形的个数。借助感性材料，学生运用已有知识经验，通过逐步抽象、概括，形成“素数”与“合数”的概念。这种对概念的抽象过程，因为有了直观操作、观察等活动经验的支撑，所以学生理解得十分深刻。对于“素数与合数”，学生不再停留在符号记忆层面，而是对概念本质内涵有了深刻把握。

其实，小学数学中有许多概念，无论是“描述式”还是“定义式”的，基本上都来源于学生的经验，其所蕴含的数学思想方法也基本上都是朴素的。基于此，从学生已有经验出发，让学生借助已有经验进行数学化操作、活动、思考，是数学概念建构的现实路径。

二、多维思辨，把握数学概念之本质

学生学习数学概念，不是记住“形式化定义”，而是要对概念进行多维度、多向度思考、思辨。只有通过不断思辨，学生才能把握数学概念之本质。在概念教学中，教师要善于运用变式，引导学生进行比较，包括反例思辨、变式思辨、对比思辨，等等。黑格尔曾提出：思辨既是“异中寻同”的过程，也是“同中找异”的过程。经过思辨，学生能逐步舍弃概念的非本质属性，抽取概念的本质属性，从而深化对概念的理解。

例如，在教学“图形的放大和缩小”（苏教版小学数学六年级下册）时，笔者首先出示了一张微型长方形全家福照片。学生纷纷认为看不见，那怎么办呢？学生自然想到将这个全家福照片“放大”。“怎样放大呢？”笔者出示了三种照片的放大图：一种是长放大，宽不变；一种是宽放大，长不变；还有一种是长和宽同时放大。学生发现，第一类、第二类“放大”，其放大后的图形犹如“哈哈镜”，实际上是对原来照片的变形，这不是真正的放大。哪一种放大是数学意义上的“放大”呢？学生纷纷认为应该是第三类，也就是长宽同时放大，而且放大相同倍数。顺着学生的思维，笔者让学生深度思考：如何用数学方法表示数学意义上的放大？学生展开多样化猜想。有学生认为，可以用“放大前的面积”与“放大后的面积”进行比较；有学生认为，可以用“放大后的面积”与“放大前的面积”进行比较；有学生认为，可以用“放大前的长度”与“放大后的长度”进行比较；还有学生认为，可以用“放大后的长度”与“放大前的长度”进行比较。到底哪一种表示方法更科学呢？学生彼此展开激烈的辩论、交流。经过思辨，学生认为，这么多表示方法聚焦于“面积比”“长度比”哪一个更科学呢？学生发现，如果运用面积比来表示图形的放大和缩小，并不能保证图形放大或缩小的唯一性，而用长度比表示图形的放大和缩小，能够保证图形放大或缩小的唯一性。于是，学生理解了图形放大和缩小的本质。

数学概念需要学生深入地思辨、层层地思辨。只有通过深入的、持久的思辨，才能让数学概念本质显山露水。“放大”和“缩小”两个概念，学生容易和生活中的“变大”“变小”形成关联。通过思辨、争辩，学生对概念理解逐渐从“模糊”走向“清晰”，从“模糊”走向“精准”。

三、概念导图，把握数学概念之结构

根据“系统论”原理，新概念只有纳入原有概念结构、概念体系中才能获得更好的理解。在数学教学中，教师可以借助“概念导图”，引导学生在概念比较、概念建构中理解概念；可以引导学生从概念的隶属关系、因果关系、交叉关系等方面进行思考，根据新旧概念的不同关联，运用演绎、归纳、类比推理等方法，进行多维联想、探索。

常见的概念图有“中心型概念图”“层级型概念图”“流线型概念图”“系统型概念图”，等等。概念图不仅具有解释力，而且具有生成力。例如“平面图形”，基本上都是采用的“属加种差”的定义方式，这样的定义方式要求学生深刻理解每一个概念的上位概念。如“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”“有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形”，等等。例如，在教学“平行四边形的认识”“梯形的认识”（苏教版小学数学四年级下册）时，教师通常都是分开教学，各个突破的，这样的教学，容易割裂概念间的关联。笔者在教学中，将“认识平行四边形”和“认识梯形”两课整合起来教学。因为尽管平行四边形和梯形都隶属于四边形，但二者有着明显不同的特征。平行四边形是“两组对边分别平行”，而梯形是“只有一组对边平行”，或者“一组对边平行，另一组对边不平行”。在教学中，笔者出示了各种形状、大小的平行四边形和梯形，引导学生对图形进行分类。借助分类，学生认识到平行四边形具有的共同特征，认识到梯形具有的共同特征。同时，将长方形、正方形、菱形等图形纳入平行四边形的图形之中。这样，学生认识到平行四边形的一般特征和特殊特征。由此深化、拓展了学生对平行四边形、梯形概念的本质理解。

以“概念图”为核心，将概念上一级或者下一级的母概念或子概念整合优化到整个概念结构之中，使学生不仅能够把握概念间的有机关联，把握概念之间的层级关系、属种关系，促进概念与概念的优化整合，而且有助于其在比较中明晰概念本质。学生既能居高临下把握概念的内涵，又能退到概念之外看到概念的外延。

概念既是人思维的一种形态，又是人思维的一种产物。作为思维形态，概念是人们进行判断、推理的基础，反映了人们对事物特征的本质认识过程；作为思维产物，概念是人们对事物本质特征的认识结晶。教学中，教师需要坚持不懈地努力，引导学生对数学概念进行全方位、多角度的思考，引导学生进行数学概念的探究活动，让学生经历数学概念的形成过程，促进学生对概念的内化、理解。♪