连续型随机变量概念的教学导入

广西桂林市桂林旅游学院 林弋程

在概率论与数理统计入门课程中，通常把随机变量分类为离散型随机变量和连续型随机变量进行介绍。在描述随机变量的统计规律时，需要给出其取值范围和概率分布信息。对于离散型随机变量，只需要列出其取值以及每一个取值对应的概率（即分布律），这种方式不但简单明了，而且在生活中有人们经常能接触到的大量具体实例，如各种古典概型问题，因此初学者相对容易掌握。但是，刻画连续型随机变量的概率分布时，需要先假设存在某个黎曼可积且具有非负性和规范性的函数（称之为概率密度函数），以此函数为被积函数进行定积分，进而给出随机变量处于某个区间的概率。可以看到，后一个概念比前一个概念抽象、复杂得多，并且由于连续型随机变量事实上是一个数学上的概念抽象，在日常生活中难以遇到直接的对应物，这使得初学者掌握这个概念的难度大为增加。“数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心，在数学学习与教学中具有重要地位”，因此，在连续型随机变量概念的教学中，需要教师采用适当的导入方式来提高教学效果。

一、常见连续型随机变量概念的教学导入方式

通过研究概率论与数理统计众多国内外著名教材发现，当前连续型随机变量概念的教学导入主要有四种方式。

第一种导入方式：先举例说明存在取值个数为不可数无穷的随机变量，无法如离散型随机变量用分布律刻画其概率分布，必须采用新的刻画方式，随后直接给出用概率密度定积分刻画连续型随机变量概率分布的定义，如教材[1]、[2]、[3]等。需要指出的是，后面列出的三种导入方式都是在这种导入方式的基础上通过加入新内容完成导入的。

第二种导入方式：主要通过对某个具体实例中的连续型随机变量（记为X）进行处理，进而导入连续型随机变量的定义（如教材[4]等），步骤如下：（1）对X进行大量抽样；（2）等间距划分X的取值区间，得到若干个小区间；（3）把X的抽样样本放置到前述小区间的“容器”内；（4）定义用于近似X的离散型随机变量Y，其取值为各个小区间内任意选出的代表值，每个取值的概率为各个小区间“容器”内样本的频率值；（5）绘制Y的概率直方图；（6）为了让Y不断逼近X，不断细分前述小区间，并重复步骤3至步骤5；（7）观察到前述过程中绘制出的直方图上部轮廓越来越“光滑”，逐渐显现出一条连续曲线，据此把这条曲线定义为X的概率密度函数，并把曲线在X所处区间内的面积定义为X的概率，再把面积和定积分等同起来，最终完成连续型随机变量概念的导入。虽然这种导入方式在学习效果上拥有具象化的优点，而且由上述步骤4中Y的定义方式，非常容易得出概率密度应满足非负性和规范性的特征，但是限于书本篇幅，很难在书本上列出足够多的样本以支持“不断精确化”的过程演化，需要借助多媒体手段方能将模型具象化。例如，在教材[4]中，虽然画出两幅反映演化过程的概率直方图，但却没有给出任何具体样本，只是让读者想象有很多样本存在，初学者往往只能窥得其中概览，而无法自己完成概念的整个具象化过程。此外，这种导入方式的过程本身比较复杂，是否符合各个层次初学者的接受能力亦存在一定的疑问。

第三种导入方式很大程度上是第二种方式的逆过程：先选择某个之前已经学过的离散型随机变量，例如在教材[5]中，Larsen R J 和Marx M L选择的是几何分布随机变量，然后画出对应的概率直方图，最后用连续曲线叠加在直方图上（连续曲线的选择标准：在任意区间上，离散型随机变量的概率尽可能接近连续曲线下的面积），据此得到启发，连续型随机变量的概率应该通过某个函数的定积分来赋予。虽然这种导入方式非常巧妙，但是初学者首次接触这一导入过程时，难免会产生“这一过程是如何想到的？”疑问，也容易形成连续型随机变量只是用于近似计算离散型随机变量的概率的错觉。

第四种导入方式：利用前置课程已经学习的一个几何概型实例，先通过对求得的概率表达式进行变形，表达成对某个函数的积分，然后对被积函数进行延拓定义，规定延拓区域函数值恒为零，最后说明这就是连续型随机变量的定义方式，并给出连续型随机变量的定义，如教材[6]、[7]等。通过对比可以看出，这种导入方式较第二种和第三种更直接和更简单，但是由于在导入过程中没有对为何变形为积分形式的“动机”进行合理说明，无法起到启发式概念导入的作用，更像是引用了一个用于说明抽象定义的实例。此外，选择的实例是否贴近普通人的生活经验，是否能激发初学者的学习兴趣对这种导入方式的学习效果有着关键性的影响，而教材[6]、[7]中更多采用的是概念上的实例。

二、借助幸运转盘导入连续型随机变量概念

根据荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔的数学教育思想，数学教育应该从学生的数学现实出发，从生活的现实出发，提出问题、解决问题，然后通过概括提高，升华为数学概念和法则以及数学思想。幸运转盘是人们在日常生活中时常遇到的一种颇具趣味性的抽奖工具。我们可以通过对它进行详细分析，借此导入连续型随机变量的定义。

下面具体给出这种导入方式。出于完整性考虑，假设初学者接触这个概念之前没有学习过几何概型的内容。

通常情况下，设计者依据事先规划好需要设置的各种奖项的数量及其中奖概率，在幸运转盘上划分出相应的若干个扇区。每个玩家都希望自己能中最大奖，不妨称之为特等奖，自然也就很关心该奖项的中奖概率。由于扇区大小用弧度表示是最为简便的，为了一般化，设特等奖所在的扇区为区间（a,b]。对于正常幸运转盘，转盘转动停止后，指针指向的位置（设为连续型随机变量Z）在各个弧度上都是等可能的，因此，各奖项的中奖概率与扇区大小成正比，且与扇区所处位置无关。具体到特等奖中奖，其概率为P{a＜Z≤b}=k（b-a），其中k为待定的正比常数。由P{0＜Z≤ 2π}=k（2π-0）=1，得k=1/2π。若此将结论变形为定积分形式，即并在全体实数上定义函数f（x），使其在（0,2π]上等于1/2π，在其余区域等于零，那么到目前为止，该引例蕴含的教学导入方式除了在贴近生活的程度上有明显区别外，在方法上并无二致。

为了激发初学者的学习兴趣，可以考虑改变引例的分析情景。假如某人想对幸运转盘“动手脚”，即让指针指向各个位置并不是等可能的，而是更多地偏向小奖项，大奖项的中奖概率则被调小，这在计算机实现的幸运转盘中完全是有可能的，那么他如何达成“目标”呢？根据微积分知识，我们知道，要使指针指向在可能性上不均匀分布，即要求指针指向不同位置时可以有不同的概率变化率。为此，在（0,2π]上定义概率变化率函数，记为f（x）。假设f（x）连续或分段连续，并将f（x）的定义延拓到（-∞，+∞），令f（x）在（0,2π]之外均为零，则f（x）满足非负性和规范性，并且对于任意区间（a,b]，同时也容易看出，要控制幸运转盘的中奖特性，即是要设计出恰当的指针指向概率变化率函数f（x）。至此，连续型随机变量定义的教学导入已完成。

三、教学实施

将这种导入方式运用到教学中时，可以很容易设计出多个教学环节激发学生学习兴趣和提高学生的参与程度。这里简单列出几个，仅供参考。在介绍幸运转盘时，可以选择播放某个利用幸运转盘行骗的短视频，一来将学生带入教学情境中，二来可以起到防骗教育的作用。如果先分析正常幸运转盘，可以由教师引导学生分组讨论“中奖特性”“用何种方式描述中奖区域”等问题，直到引导学生得出“用扇形的弧度描述中奖区域”“中奖概率与中奖区域大小成正比”的相关结论。在考虑不正常幸运转盘时，可以将事先制作并发布到网上的幸运转盘游戏让学生用手机试玩，让他们真切感受幸运转盘的“黑幕”，便于后续启发学生关于概率变化率即概率密度的概念。此外，还可以考虑在制作的幸运转盘游戏中加入调整指针指向概率密度以及统计各奖项实际中奖频率等功能，让学生实际体验概率密度与概率之间的关系，十分有利于培养学生在连续型随机变量概念方面的数学直觉。

本文提出了一种新的连续型随机变量定义的教学导入方式，相对于已有的几种导入方式，它具有如下几个方面的优点：一是导入方式中采用的场景更贴近普通人的生活，具有趣味性，因而更能激发初学者的学习兴趣；二是概率密度的概念和连续型随机变量的定义方式，可以基于导入过程的具体场景被更简单明了地引出，启发效果更好；三是导入方式更充分地体现了运用数学建模解决实际问题的思想，因此更有利于培养初学者运用连续性随机变量的能力；四是将此导入方式用于教学中，在教师的主导下，可以更容易地提高学生的参与程度。