参数方程经典题突破方法

■河南省许昌实验中学 刘 龙

坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程,二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用。尤其是直线、圆、椭圆的极坐标、参数方程的综合应用出现频率最高,在极坐标方程与参数方程的交汇中突出化归思想与方程思想的考查。

一、极径ρ的几何意义的应用

例1在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25。

(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

(2)直线l的参数方程是为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率。

解析：(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0。

(2)解法1：由直线l的参数方程消参可得y=x·tanα。

设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kx-y=0。

由圆C的方程(x+6)2+y2=25,可知圆心坐标为(-6,0),半径为5。

又|AB|=10,由垂径定理及点到直线的距离公式得即解得即l的斜率为

解法2：在第(1)问建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)。

设A,B所对应的极径分别是ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0,所以ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11。

所以直线l的斜率为

评注：曲线的极坐标方程问题需要熟练掌握极坐标与直角坐标之间的互换公式,还要求能够理解极径的几何意义,巧用极径的几何意义可以使解题过程由复杂变为简单。

二、直线参数方程中t的几何意义的应用

例2已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ。以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数)。

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且求直线l的倾斜角α的值。

解析：(1)由曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ,其直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4。

(2)把直线l的参数方程(t是参数),代入圆C的方程得(tcosα-1)2+(tsinα)2=4,化简得t2-2tcosα-3=0。

设A,B两点对应的参数分别是t1,t2,则t1+t2=2cosα,t1t2=-3。

评注：应用直线的参数方程时,一定要注意直线参数方程是否为标准形式,即是参数,是直线的倾斜α角,再确定t的几何意义。

三、极坐标方程与参数方程的综合应用

例3在直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并取与直角坐标系相同的单位长度,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=cosθ。

(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

(2)若P,Q分别是曲线C1和C2上的任意一点,求|PQ|的最小值。

解析：(1)对于曲线C,有1即,故曲线C1的普通方程为

因为ρ=cosθ,所以x2+y2=x,即曲线C2的直角坐标方程为

(3)设P(2cosα,2sinα),由(1)可知圆心

评注：在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解。