导数九类热点问题剖析

■河南省洛阳市第一高级中学 闫雍恒

高考中的导数主要围绕“利用导数求曲线的切线、确定单调区间 、求极值和最值、求参数范围,以及用导数研究函数零点和解决与函数有关的不等式”等热点问题展开,彰显导数的工具性和应用性。

剖析1——利用导数的几何意义探究曲线的切线问题

例1(2018年贵州贵阳高三8月摸底)已知函数f(x)=xn-xn+1(n∈N*),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与y轴的交点的纵坐标为bn,则数列{bn}的通项公式为____。

解析：依据导数的几何意义按部就班求出在切点处的切线方程,对函数求导可得f'(x)=nxn-1-(n+1)xn,则f'(2)=n×2n-1-(n+1)×2n=(-n-2)×2n-1,且f(2)=2n-2n+1=-2n,曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2n=(-n-2)×2n-1×(x-2)。令x=0 可得y=(2n+2)×2n-1=(n+1)2n,则数列{bn}的通项公式为bn=(n+1)2n。

提炼：设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P为切点的切线方程为yy0=f'(x0)(x-x0)。若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0。谨记,有切点直接代入切点,没切点设切点,建立方程组求切点。

剖析2——由切线之间的关系构造函数求最值或参数范围问题

例2(江西抚州七校2017届高三上学期联考)已知函数f(x)=的图像上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合,则实数a的取值范围是( )。

解析：分段函数分类求导,设切点确定切线方程,由切线重合沟通切点之间的关系。当x＜0时,f'(x)=2x+1;当x＞0时,设A(x,y),B(x,y)且1122x1＜x2。当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时,f'(x1)≠f'(x2),故x1＜0＜x2,当x1＜0时,函数f(x)在点A(x1,y1)处的切线方程为y-(x21+x1+a)=(2x1+1)(x-x1),即y=(2x1+1)x-x21+a;当x2＞0时,函数f(x)在点B(x2,y2)处的切线方程为,即两切线重合的充要条件是且(0,1),消去x得1令则构造函数则g'(t)=所以g'(t)在上单调递减,在上单调递增。又g'(0)＜0,g'(1)＜0,所以在(0,1)上g'(x)＜0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,所以,即故选C。

提炼：通过“分段函数的切线满足关系或两曲线在一点处有公切线”来探究参数的取值范围,常常“设而不求”,利用“在切点处的导数值相等且在该点处的函数值也相等”的条件,沟通切点的横坐标之间的关系,再降元换元化归为辅助函数的值域求解,凸显导数的几何意义的 “沟通作用”和导数的工具性,以及函数方程和等价转化思想的灵活应用。

剖析3——导数法判断或研究函数的单调性

例3(江苏南京2017届高三调研)已知函数f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R。

(1)当a=b=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;

(2)当b=2a+1时,讨论函数f(x)的单调性。

解析：(1)由导数的几何意义易求切线方程为2x-y-2=0。

(2)当b=2a+1时,可得f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx,从而

若a≤0,当x∈(0,1)时,f'(x)＞0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)＜0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减。

提炼：导数法研究函数单调性→求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性。题设中含有参数时,求解方程f'(x)=0的根导致分类讨论,分类依据导函数不等式形式正确确定→最高项系数与0的大小关系→ 两根大小等。注意单调区间是定义域的子集,单调性相同的两个区间一般要用“和”或“,”连接。

剖析4——利用导数研究函数的极值等有关问题

例4(湖北荆州2017届高三上学期第一次质量)已知函数为自然对数的底数。

(1)当a＞0时,试求f(x)的单调区间;

解析：(1)借助题设条件运用导数求解。函数的定义域为

当a＞0时,对于x∈(0,+∞),有ex+ax＞0恒成立。若x＞1,f'(x)＞0,若0＜x＜1,f'(x)＜0,所以f(x)的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1)。

(2)依据题设进行转化,构造函数运用导数知识探求。由条件可知f'(x)=0,在上有三个不同的根,即ex+ax=0在上有两个不同的根,且a≠-e。令,则所以上单调递增,在x∈(1,2)上单调递减。所以g(x)的最大值为而所以

提炼：函数y=f(x)在x=x0处取极值的充要条件应为：(1)f'(x0)=0,(2)在x=x0左右两侧的导数值的符号相反。从解题规范性角度出发,要求类似问题最后都要进行检验。本题第(2)问则通过构造函数运用求导法则及数形结合,分析推证建立不等式,使得问题获解,要学会这种研究函数极值的思维方法。

剖析5——用导数研究函数在闭区间上的最值问题

例5(2017年山西三区八校二模)已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b为常数且a≠0)在x=1处取得极值。

(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,e]上的最大值为1,求a的值。

解析：(1)因为f(x)=lnx+ax2+bx,所以

因为函数f(x)=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值,所以f'(1)=1+2a+b=0。

当a=1时

由f'(x)＞0,得;由

故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为

(2)借助导函数的根和对称轴合理分类确定最大值的位置。因为f'(1)=1+2a+b=0,所以b=-(2a+1),所以

令f'(x)=0,解得

因为f(x)在x=1处取得极值,所以

提炼：求函数在闭区间[a,b]上的最值,先求导研究函数的单调性,若函数在该区间上单调,则两端点的值即为最值,若在区间上有极值,比较极值与两端点的函数值即可求其最值。若由f'(x)不能判断函数的单调性,这时需要二次求导,构造h(x)=f'(x),再求函数h'(x)的零点,此时h'(x)非负或非正恒成立来确定函数h(x)的单调性,根据单调性求最值,从而判断f(x)的单调性,求得最值。

剖析6——利用导数研究函数零点有关问题

例6(山西运城2017届高三上学期期中)已知函数f(x)=lnx-mx(m∈R)。

(1)若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;

(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证：x1x2＞e2。

解析：(1)因为点P(1,-1)在曲线y=f(x)上,所以-m=-1,解得m=1。

(2)不妨设x1＞x2＞0,因为f(x1)=f(x2)=0,所以lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0,可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2)。

要证明x1x2＞e2,即证明lnx1+lnx2＞2,也就是m(x1+x2)＞2。

所以f(t)＞f(1)=0,即成立,所以原不等式成立。

提炼：解决与函数零点有关的不等式证明问题,可以利用零点所满足方程变形沟通转化为同一个参数的函数,然后构造函数,利用导数求其最小值来证明,其中零点的沟通作用和利用所证不等式的结构特征变形构建函数是求解的关键。

剖析7——利用导数研究函数单调性进而证明不等式问题

例7(2018年山东济南高三摸底)已知函数

(1)若f(x)在区间(-∞,2)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;

(2)若a=0,x0＜1,设直线y=g(x)为函数f(x)的图像在x=x0处的切线,求证：f(x)≤g(x)。

解析：(1)易得函数的导数为,由已知得f'(x)≥0对x∈(-∞,2)恒成立,则x≤1-a对x∈(-∞,2)恒成立,所以1-a≥2,所以a≤-1。

故实数a的取值范围为(-∞,-1]。

(2)由于a=0,则

函数f(x)的图像在x=x0处的切线方程为

设φ(x)=(1-x)ex0-(1-x0)ex,x∈R,则φ'(x)=-ex0-(1-x0)ex。

因为x0＜1,所以φ'(x)＜0,所以φ(x)在R上单调递减。

而φ(x0)=0,所以当x＜x0时,φ(x)＞0,当x＞x0时,φ(x)＜0。

所以当x＜x0时,h'(x)＞0,当x＞x0时,h'(x)＜0。

所以h(x)在区间(-∞,x0)上为增函数,在区间(x0,+∞)上为减函数。

所以x∈R时,恒有h(x)≤h(x0)=0,故f(x)≤g(x)。

提炼：利用导数证明不等式的关键在于构造函数。若证明f(x)＜g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),若F'(x)＜0,则F(x)在(a,b)上是减函数。同时,若F(a)≤0,由减函数的定义可知,x∈(a,b)时,有F(x)＜0,即证明了f(x)＜g(x)。

剖析8——构造辅助函数用导数研究单调性解函数不等式或比大小问题

例8(湖北荆州2017届高三上学期第一次质量检测)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),对任意的实数x都有f(x)=4x2-f(-x),当x∈(-∞,0)时若-2m2,则实数m的取值范围是____。

解析：由已知条件令F(x)=f(x)-2x2,则,则函数F(x)在x∈(-∞,0)上单调递减;由f(x)=4x2-f(-x),则F(-x)+F(x)=f(-x)+f(x)-4x2=0,即F(-x)=-F(x),故F(x)是奇函数且在R上单调递减,则不等式f(m+1)-2(m+1)2≤f(-m)-2m2转化为F(m+1)≤F(-m),由函数的单调性可得

提炼：求解抽象函数不等式或比大小问题,反馈题设结构特征,构造辅助函数,由题设和导数法则逆用确定辅助函数的单调性和奇偶性,进而合理转化应用单调性求解。本题构造函数F(x)=f(x)-2x2,用题设研究其奇偶性,进而确定其在R上的单调性,使问题简单化。

剖析9——利用导数证明数列和不等式问题

例9(江西新余第一中学2017届高三调研)已知函数f(x)=a(x2-1)-lnx。

(Ⅰ)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;

解析：(Ⅰ)由已知得

(1)当a≤0时,f'(x)＜0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以当x＞1时,f(x)＜f(1)=0,与f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立矛盾。

(2)当a＞0时,由f'(x)＞0,得;由f'(x)＜0,得0＜