微积分在大学物理课程力学部分的主要应用

王奕润 胡珍妮 姜曼

【摘要】大学物理是本科院校理工科学生的主要必修课程。研究微积分在力学中的主要应用，帮助学生重视微积分理论与技能学习，提升物理学习效果，同时对数理教学活动提供一点参考。

【关键词】微积分 导数 微分 积分

微积分是研究函数极限、导数与微分、积分理论及应用的重要的数学分支。微积分思想及其研究问题的方法，在物理、力学、天文学、生物化学以及经济、人文等领域应用普遍广泛。学生通过微积分理论学习及基本运算能力训练，对后续课程学习大有裨益。

物理学是研究不同层次物质结构和物质运动的最基本、最普遍规律的学科。“对人类未来的进步起着关键作用。”作为当代自然科学领域的奠基者，物理学之力学、热学、电磁学、光学及近代物理学等知识理论在科技科研及生产领域广为应用。力学是物理学重中之重。理工科学生扎实系统掌握物理学基本理论与技能，对完善知识结构及专业发展举足轻重。

微积分知识在力学部分的应用主要在导数、微分、积分与微分方程几方面。

一、导数在力学中的应用

（一）根据导数定义

假设一元函数在某点一个邻域内有定义，当给该点以增量（仍在同邻域）时函数产生相应增量。若函数增量与自变量增量比值，在自变量增量趋于零时的极限存在，则称此极限值为函数在点的导数.又称函数在该点可导。

（二）导数在力学中的应用

导数在力学中的存在形式并不统一。不同导函数在物理学中意义迥异。比如速度、加速度等。质点按位置矢量的规律运动，在一段时间内发生位移.当时间间隔趋于零时，位移与时间比值的极限，就是质点在初始时刻的瞬时速度.此速度其实就是位置矢量对时间一阶导数；再比如，圆周运动中角坐标表示质点某时刻所在的位置，质点运动中在一段时间内角坐标发生改变，产生角位移。当时间间隔趋于零时，角位移与时间间隔比值的极限，是角坐标对时间的一阶导数，其实就是质点在初始时刻的角速度；此外，导数还可以表征机械做功的快慢：设某机械在一段时间内做功，当时间趋于零时，机械所做的功与该段时间之比的极限，可得到机械在初始时刻的瞬功率，机械的瞬时功率实际上就是功对时间导数。

二、微分在力学中的应用

（一）根据微分定义

函数在自变量某点一个邻域内有定义，当自变量发生改变时，若函数的增量可以表示為自变量增量倍（与自变量增量无关）跟自变量增量之高阶小的和，这个自变量增量的倍称为函数在初值处的微分，此时也称函数在该处可微。

（二）微分在力学中的应用

微分在物理学中使用，常以“某某元”形式出现，如位移元，路程元，电流元、元功等质点运动时常用位置矢量表示质点在某时刻相对某点所处位置，位移表示一段时间内质点位置矢量的改变。位移元是位置矢量函数对时间的微分，它表示在很短时间间隔内质点微小位矢增量，亦即微小的位移；再如，路程元（又称长度元）表示质点运动时其轨迹长度的微小改变，即微小的路程。路程元是位置函数对时间的微分。

三、定积分在力学中的应用

（一）函数定积分的本质

函数定积分的本质是求函数在自变量有限范围内的部分量之总和。简言之，为计算总量，选取积分变量，取其任一小区间得函数部分量元素；从起点到终点对部分量元素累加之和是为总量，这个方法叫定积分元素法。

（二）定积分元素法在力学中应用

求质点在变力作用下沿曲线起点移至终点的总功。按功的定义，先计算外力在曲线上任一位移元上所做的元功，此时位移元大小等于曲线元，力做的总功就是元功从起点到终点的定积分；若刚体在垂直于转动轴的外力作用下，转过角位移元，按总功的定义，写出刚体受外力在这小段位移所做元功，可得力（力矩）对刚体所做总功。

四、可分离变量方程在力学中的应用

（一）微分方程

微分方程是指凡含有未知函数及导数的方程，称为微分方程。将微分方程中的变量先进行分离，再对两侧同时积分即可。

（二）可分离变量微分方程在力学中的应用

在物理学运算中常常会用分离变量法解微分方程。比如，在直角坐标系下，质点沿横轴做初速度不为零的匀变速直线运动。由于加速度是速度的一阶导数，分离变量可得速度微分等于加速度与时间微元乘积，结合初始条件两侧取定积分即可得解。

综上所述，微积分与物理学（含力学）渊源深厚。对理工科学生而言，良好的微积分理论功底，对学习后续课程如物理学大有裨益。从教师角度，从事物理课程教学的教师，应有一定娴熟深厚的数学功底，才能在物理学（含力学）授课中挥洒自如；而数学教师在微积分教学中，在教学中灵活运用物理学量举例，以学生获取最大化为原则，适当考虑微积分相关教学内容安排与后续课程衔接。

参考文献

[1]第23届纯粹物理与应用物理联合会代表大会，（缩写IUPAP），1999.

[2]严导淦，王晓鸥.大学物理学，北京：机械工业出版社，2012：3.

[3]盛祥耀.高等数学，北京：高等教育出版社，2001：45.

[4]王志平.高等数学，上海：上海交通大学出版社，2012：91.

[5]同济大学应用数学系，高等数学，北京：高等教育出版社，1978：268.

作者简介：王奕润（1970-），研究方向：物理与高等数学教学研究、新工科实践教学研究。