略谈几何体外接球半径解题的策略

张福源

高中立体几何中空间想象能力的培养是重点，也是教学的难点，而探求几何体的外接球半径R于多数学生而言是一个难点，针对这种现象，本文结合笔者多年的教学经验谈谈这类题型的解题的策略及常见思路，以供读者参考。

一般地，求几何体的外接球半径R的常见策略可按思维习惯分为五步思考法，依次为：第一步，化为长方体或正方体;第二步，找直径;第三步，射影定理;第四步，找球心;第五步，建系，下面举例说明。

第一步：化为长方体或正方体

众所周知，长方体或正方体的体对角线长就是其外接球的直径，若能把题目中的几何体还原到长方体或正方体，问题就好办，这里首先要熟知一些常见模型（如正四面体、墙角型的三棱锥等）怎样还原为长方体或正方体，其次要熟悉长方体与正方体的性质。

例1三棱锥A-BCD中，AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=4，求三棱锥A-BCD的外接球的表面积。

解析 初看本题，似乎好难。但仔细分析发现，三棱锥的对角线长均相等，立即联想到长方体面对角线长相等，问题迎刃而解。

例2 某幾何体的三视图均为边长是2的正方形，如图2，试求该几何体的外接球半径。

点评 通过以上两个例题可以发现，能够还原为长方体或正方体的模型具有的特征：题设反映的信息均与长方体或正方体的性质有关，例1中对角线长相等（矩形性质），例2中三视图外形均为正方形（正方体的三视图即是）。其实很多问题可以还原为长方体或正方体，只要平时善于分析与总结，处理这类题不是难事。

第二步：找球的直径

点评 立体几何题目离不开画图并结合两个定理（性质定理与判定定理）分析解题，充分挖掘内涵，努力求出任两点距离及寻找任一线的垂面，做到“心中有形神州行”！

第三步：射影定理

第四步：直接定球心

第五步：建立空间坐标系法

思路是：通常建立空间直角坐标系，用待定系数法求出球心坐标，然后通过两点间距离公式得到球半径。

点评 可见，解析法不需要复杂的空间想象，难度小，适合空间想象能力弱的同学，但要求计算能力要过关。

当然，任何一道数学题的解法可能不唯一，以上介绍的五步法不是孤立的，它们会互相联系，如例7，可以用找球心的思路进行求解，只要我们在平时练习与训练中不断渗透这五步法的精神，采取自己最为熟悉方法入手，必将攻破这一难关。