陈纪韦华 林劲松
2017年是福建省各地市统一使用同一份中考试卷的第一年,意义非同寻常,本份试卷的第24题,以两个相似矩形共顶点旋转为载体,探究变化过程中的不变性,具有典型性、示范性、拓展性、研究性,承载知识的“生长点”和“延伸点”,对思维的灵活性、深刻性、发散性、独创性有较高的要求,本文以该题为例,对其评题、析题、解题、变题,揭示蕴含其中的数学思想方法,挖掘隐含其中的问题本质属性,引导学生积累数学活动经验,培养学生的核心素养。
1试题呈现及评价
原题呈现
本题是2017年福建省中考卷的几何压轴题,它承载着更多的功能,主要考查:矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边中点的性质、相似三角形的判定和性质、圆的概念和性质,考查学生运算能力、推理能力、创新意识、分类与整合思想、化归与转化思想,解题思路灵活,入口较宽,又有深度,方法多样。
图形看似复杂,其实是两个相似矩形共顶点旋转并研究变化过程中的不变性,看似静止的图形,其实静中有动,变化中探寻本质,图形似曾相识,是基于传统题进行创新,内涵丰富,不仅将初中数学中核心的知识(矩形、相似、圆、等腰三角形等)巧妙融合,而且将知识、技能、思想方法融为一体,深度结合,两小题互相独立,螺旋上升,稳步提升,完成每一问的推理证明又都需对题目的已知条件进行挖掘、创造,通过不断地转化,寻求解题的途径,对学生的思维水平有很高的要求,突出了压轴题应有的选拔区分功能,同时,解法的多样性,图形的熟悉感为不同层次的学生提供了广阔的想象空间,为不同思维层次的学生搭建了不同的平台。
2解法展示及分析
3由解法引发的思考
3.1解其题,研其式
一道高效的中考题,特别是压轴题,经过命题者精心编制,具有典型性、示范性、拓展性、研究性,涉及核心内容多,数学思想方法广,应充分挖掘其内在价值,可以从各个“思维触发点”对其解法探究,能够巩固学生基础知识和基本技能,同时形成数学思想方法,积累数学活动经验,拓展思维能力,例如上文中对2017年福建中考题的解法探究,在几何直观的基础上从不同的角度产生多种典型解法,达到“千山竞秀,草木蒙其上,若云兴雾蔚”,同时,解题后应引导学生对多种解法进行思维整理,总结思维触发点,比较解法优劣,优化思维过程,提炼出更好、更优、更典型、更便捷的解题方法,加深对知识的理解、掌握,形成自己的解题经验,积累活动经验。
3.2归其道,养其心
在“解其题,研其式”的过程中,处处体现数学核心素养的融入,此题的解答过程主要体现了数学核心素养有几何直观和推理转化,整个解题过程,直观想象是此题具体解题方法的基础——通过观察对图形整体感知,做出判断ΔADP~ΔCDF.在此基础上推理转化是核心,要证明ΔADP~ΔCDF,分别从角入手,从对应边的比入手,寻找一系列等线段、等角、等比例转化与化归,几何推理贯穿始终,因此,在平时解题的教学过程中,应考虑如何在数学活动过程中积累、转化、深化活动经验,向更高层次飞跃,内化升华为数学核心素养?从上文的过程中,我们可以略窥如何让学生养成探究问题的思路:发现了什么结论?这个结论正确吗?怎么证明?当前问题与已有知识、方法有何联系(不同点、相同点),能否转化为已有知识、方法,如何转化、迁移(上下游命题的联想系统)?如果不能,又如何另辟蹊径?这个结论是否具有一般性?在这个过程中,引导学运用学过的数学知识,观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合等手段,对问题多角度分析思考,层层探究,凸显数学思维,突出数学本质,提炼数学思想方法,积累数学活动经验,从而培养学生的数学核心素养。
4试题的进一步延伸探究
除了对解法的探究外,还应对试题本身进一步探讨研究,以期对以后的命题工作提供借鉴参考。
4.1从“静”到“动”,对题目进一步探究
平面几何主要是研究几何图形在图形变换(旋转、平移、轴对称、位似变换、相似变换)下保持不变的性质,因此,历年各地市的中考压轴题经常出现以几何图形为载体,点或线等元素运动为呈现方式的动态几何题,其目的在于引導学生在运动的变化过程中体会“变”与“不变”、“运动”与“静止”、“特殊”与“一般”的辩证关系,是对几何直观和推理的综合考查。
就本题第(Ⅱ)小题而言,ΔADP和ΔCDF绕点D旋转过程中,AP与CF在数量和位置上保持不变性的问题,但本题在设置上形式比较简单,AP固定赋值时,图形固定,缺乏引导学生探究数学问题,不利于学生探究体会几何图形变换中的不变性,体现在上文的解法4中,可以看出不属于动态几何题,因此看山不是山,跳出本题看本题,我们可以让图形运动起来,在运动变化的过程中,探求一些保持不变的量或图形形状,揭示图形变化的内在规律。
4.2抽离“几何图形结构”,对题目进行归纳延伸
“共顶点旋转”图形变式顺畅自然,结论显而易见,不同的题目解法多样(利用中点可以有不同的解法,有兴趣的读者可以自己证明),变式角度多端(ΔABC的形状可以进一步一般化或特殊化),受到各地中考命题专家的眷顾,值得注意的是对“共顶点旋转”图形结构进行探究,并非为了多创造几个新结论,多记忆几个新图式,把一切几何问题模式化,走“题型+技巧”的老路,而是为了“研其式”——将题目发散、提炼,层层深入,将一系列问题,以策略方法为主,从特殊到一般双向沟通,逐次展开,拾级而上,环环相扣,一题多变形成问题串,炼题成型、凝题成环、联题成片、多题归一,进而“归其道,养其心”:通过问题的探究,积累经验,达到课标提出的“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的问题解决的过程性目标,培养学生的数学核心素养。
教师对中考压轴题要认真钻研,学会拓展延伸、类比迁移,才能让自己从一个单纯的执行者转变为开发者,从而能够很好地训练学生思维的创造性,教学也必将更加有效,平时的课堂中应关注好的“着落点”,远离“题型+技巧”、“记题型、对模式”的教学,拒绝题海战术,关注学生数学学习经验的积累,抓住数学的教育价值在于思维的训练和创造性,培养数学核心素养,使数学“易学、好懂、能懂、会用”。