立足本质 引导探究

黄江龙

《普通高中数学课程标准（实验）》倡导探究性课题学习，要求关注引导学生围绕某个数学问题，观察分析，提出问题，自主研究，探究适当的数学结论或规律，圆锥曲线历史悠久，知识丰富，几乎每一个性质都有丰富的背景，研究方法灵活多样，研究难度分布广泛，对培养学生的研究性学习能力效果显著，

高考试题中的解析几何题都是命题专家精心设计的杰作，具有很强的教学指导性和方向性，同时又有很强的學习研究性，用好高考试题，将它用于课堂上的探究性教学，能充分提高课堂教学的有效性，提高学生的数学能力，以下是引导学生从2016年新课标文科数学全国I卷第20题出发，探究和拓展抛物线的一个性质，努力揭示问题本质的一次探究式问题教学，

题目在直角坐标系xOy中，直线，l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2= 2px（p>0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（如图1）

（I）求|OH|/|ON|;

（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？请说明理由.

探究1探究逆命题的真假

师这个题目条件简洁，结论漂亮，而且适用于任何情况，这样的问题很有研究的价值，我们今天一起对它来进行改编，先看老师的，不知道它的逆命题是否成立？请看下列问题：

探究2动动定点弦

探究3再探定直线

总结和反思探究至此，似乎完美，但这样的一对点和直线，配合起来，可以变化出这么多且漂亮的命题，笔者意犹未尽，想知道它们是什么？于是查阅资料，原来早有说法：这对点和直线叫抛物线的极点和极线，不仅抛物线有，其他圆锥曲线也有，所有二次曲线都有，并且它们都有很多类似的漂亮的性质.2016年新课标全国I卷文科20题中，原点和y轴就是抛物线y2=2PX的一对极点和极线.

定义对于二次曲线C：AX2+ By2+Cx+Dy+E=o和一点P（x0，y0）（其中A2 +B2≠0，P不在曲线C的中心或渐近线上），则称直线L：Ax。x+ By。y+C.（xo +x）/2+D.（Yo+Y）/2+E：0是点P关于曲线C的极线.（特殊地，焦点和准线是曲线的一对极点和极线）

性质1 （设焦点所在区域为曲线的内部）

①若极点P在曲线C上，则点P对应的极线L是曲线C在P点的切线;（图3）

②若极点P在曲线C内，则点P对应的极线L是与以P为中点的弦平行;（图4）

③若极点P在曲线C外，则点P对应的极线L是与过P点作曲线C的两条切线的切点连线.（图5）

性质2设点P和直线L是关于曲线C的一对极点和极线，则

①若C为有心曲线，0是C的中心，直线OP交C于R，交L于Q，则|OP||OQ|=|OR|2.（如图6）

②若C为无心曲线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则|PR|=|QR|.（如图7）

极点与极线是射影几何的重要概念，虽然不是《高中数学课程标准（实验）》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种重要特征，以它为背景的命制的题目，高屋建瓴，不仅题目新颖，难度可控，区分度高，对有选拔要求的高考来说，是一个不错的选择，自然是高考中常考常新的命题背景，作为一名中学数学老师，我们应当了解一些相关的高等数学知识与方法，才能“识破”试题中蕴含的知识背景，进而在更为一般的层面上把握试题的求解策略.

参考文献

[1]周兴和.高等几何[M].科学出版社，2003.9

[2]李风华.圆锥曲线的极点与极线及其应用[J].数学通讯，2012（4）下半月

[3]刘景鹏，张向农.2016年高考数学全国卷I文科第20赏析[J].中学数学教学参考，2016 （10）上句