数学文化视角下“椭圆及其标准方程”的教学策略

刘峥嵘

如何在中学数学教育中通过具体素材体现数学文化价值是数学教师必须思考和探索的问题，本文以“椭圆及其标准方程”为例，谈谈笔者对数学课堂中的数学文化渗透的实施与反思。

1问题的提出

《高中数学课程标准（实验）》指出：“数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容之一”，要求“渗透在每个板块或专题中”，并在教学中体现数学文化价值.2016年10月8号，教育部考试中心公布了[2016]第179号文件“关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，特别提出要关注数学文化，但很多一线教师对数学文化教学感到茫然，无从下手，或者，不以为然，数学的精神和思想方法也是数学教育应该追求的东西，如何在中学数学教育中通过具体素材体现数学文化价值是新课改中教师必须思考和探索的问题，本文以“椭圆及其标准方程”为例，谈谈笔者对数学课堂中的数学文化渗透的实施与反思。

2对本节教与学的认识

根据圆锥曲线的历史，椭圆的历史大致可以分成椭圆的发现、截线定义的形成、基本性质的推导、焦半径性质的获得、机械作图的产生、轨迹定义的确立以及椭圆方程的推导等七个重要环节，教材通常只截取了最后三个环节，尽管这样的处理方式相当简洁，但对照发生教学方法，它存在如下不足：其一，没有交待为什么我们要研究椭圆，因而未能让学生产生足够的学习动机;其二，没有将椭圆概念建立在学生已有的知识基础之上，椭圆的引入相当突兀，学生几乎未能感受到椭圆知识的形成过程，从椭圆的发现到椭圆的截线定义，过渡起来相當自然，但从椭圆截线定义到椭圆基本性质、再到焦半径性质，诸环节之间的过渡相当艰难，为了适合于教学，需要对其进行重构。

3教学对策

本节作为圆锥曲线的起始课，在激发学生学习主动性上应给予更多的关注，本课设计是在数学文化视角下，以发生教学原理为理论依据：先动员学生查找、阅读圆锥曲线的资料，促使学生了解数学在人类文明发展中的作用，在教学活动中，通过让学生展示圆锥曲线在实际中的应用的资料以及折纸活动，使学生感受数学的文化背景，增加用数学的意识;以实例引入，唤起学生对椭圆的感性认识;以椭圆的发现，即圆锥的截口曲线为切入点，通过丹德林双球导出椭圆的焦半径性质，过渡自然;以性质为出发点，通过机械作图的方法，与圆类比得到椭圆的定义;以曲线方程的求法为依托，通过坐标法建立并化简得到椭圆的标准方程，整个过程是在椭圆的历史演变上进行了一定意义的重构，契合学生的学习需求并具趣味性。

3.1课前准备

课前发给学生如下资料：

（1）读史明理，读下列圆锥曲线的历史，请思考①什么是圆锥曲线？②为什么叫圆锥曲线呢？材料：《欣赏圆锥曲线体验历史文化》（作者：岭南师范学院数科院张映姜教授，该文发表于《数学通报》2012年第11期）.

设计意图①动员学生查阅圆锥曲线的资料，充分挖掘积极因素，促进学生主动地学习，促使学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，②折纸问题可以激发学生的学习兴趣以及求知欲。

3.2教学过程

法国著名数学家笛卡尔受蜘蛛结网的启示创立了直角坐标系，实现了几何与代数的结合，他的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的，依照这种思想，他创立了我们现在称之为的“解析几何学”，椭圆的概念缘于图形，从各种图形中发现椭圆的特征，提炼数量关系，形成椭圆定义是理解椭圆概念的必由之路，更是形成数学抽象的重要载体。

3.2.1创设情境，认识椭圆

情景1 将一圆形的玩具往一个方向用力压或拉，变成什么形状？

情景2 其实椭圆伴随着我们的生活，看看透明杯子里的水平面是什么形状？把杯子倾斜，水面是什么形状？

设计意图 让学生感受到：①椭圆是压扁的圆，②椭圆是用倾斜的平面截圆柱得到的。

圆、椭圆、双曲线和抛物线这“四个兄弟”均为平面对圆锥所得的截口曲线，这四个兄弟一起构成了圆锥曲线这个“大家庭”，这也是“圆锥曲线”名称的由来，古希腊数学家阿波罗尼斯在他的传世之作《圆锥曲线论》中用截线的定义通过几何方法创立了相当完美的圆锥曲线理论，但晦涩难懂，在必修二“直线和圆”中以及上周四学习“曲线与方程”时，我们学习了笛卡尔创立的坐标法，能否将椭圆的问题也用坐标法解决呢？答案是肯定的，但还需要找到能将椭圆问题转化为代数问题的一些性质，比利时数学家丹德林为我们准备了两个球并得到了椭圆的一个漂亮性质。

3.2.2历史重现，了解椭圆

（Flash演示丹德林双球）

问题探究1 椭圆的焦半径性质，

如图1，在圆锥内放两个大小不同的球，使它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于点E，F.在椭圆上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B，C，你能发现哪些等量关系？发现哪些变量和不变量？在刚才重温追随椭圆历史的过程中，你发现椭圆的性质了吗？

设计意 图让学生感受椭圆的形成过程，让学生更接近数学的本源，更好地理解椭圆，让学生感受椭圆的形成过程，让学生更接近数学的本源，使学生从动点满足的数量特征中抽象出这个数量关系，从而形成椭圆的概念。

3.2.3机械作图，体会椭圆

数学实验 选一根长度大于F1F2的细绳，将其两端分别固定在F1F2点，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，观察画出的轨迹是什么图形？

设计意图 通过动手让学生感受椭圆的焦半径性质，进而体会椭圆，观察笔尖的移动（即动点的变化），其数量特征是笔尖的每一个位置到两个定点的距离之和不变，都等于细绳的长度，这就是对图形的数量关系的抽象。

3.2.4总结归纳，定义椭圆

问题探究 2 结合实验，类比圆的定义，请给椭圆下定义，能将椭圆定义的文字表述，用数学符号来表述吗？

设计意图通过椭圆定义的代数形式练习，让学生多角度准确地把握椭圆的定义，这是用数量关系与数学符号准确简洁地表达椭圆的概念，椭圆的标准方程建立了椭圆的几何特征与数量关系的有机联系，椭圆的概念从图形特征出发揭示了椭圆的本质属性，而椭圆的标准方程则从数量关系上抽象出椭圆的本质规律，运用椭圆的标准方程可以帮助学生从多个角度理解椭圆的概念。

3.2.5合理建系，推导方程

问题探究3 如何求椭圆的方程？

3.2.6尝试应用，品鉴椭圆

3.2.7知识整理，收获方法

4对数学课堂中的数学文化渗透的的思考

4.1重视数学发现方法，体会知识的再创造过程

法国数学家庞加莱曾说：“要想预见数学的未来，正确的途径是研究它的历史和现状”，张奠宙教授在《关于数学史和数学文化》一文中也强调“在数学教学中运用数学史知识时，不能简单地、就事论事地介绍史实，而应该着重揭示含于历史进程中的数学文化价值，营造数学的文化意境，提高数学的文化品位，”现在对数学史的介绍，只是在教材的邊框中展示，在教学中经常被教师“无意”滑过，不仅没有讲是什么，更不谈为什么，使得数学没了“火热的思考”，只剩“冰冷”而无“美丽”，在椭圆及其标准方程的教学中，笔者在数学史的长河中，寻找适当的资料创设情境，适当介绍圆锥曲线的历史和丹德林双球的内容，使学生在椭圆的学习之前，了解椭圆的产生和发展的过程，这样不仅仅可以激发学生的学习兴趣，而且可以让学生更接近数学的本源，帮助他们更好地理解与掌握椭圆，但在教学中运用数学史，尤其是要把数学史运用得当并非是一件容易的事，我们可以从数学史料中寻找与学生理解相匹配的素材，选择合适的角度融入教学过程当中，这要求数学教师对所讲教学内容的发展过程有一定的了解，能根据教材及与之相关的数学史，对教学内容重新设计和加工，制作成适合教学的设计。

4.2挖掘、揭示数学美，体会数学美的价值

数学创造过程历史中的想象与直觉的运用告诉我们数学是美的，是一种冷峻严肃的美，没有华丽的装饰，达到一种高度抽象的美，让数学史引导学生发现数学独特的美，鉴于数学史的这些重要作用，把数学史融入到教学中来是必然的，作为一名数学教师，有必要利用这些数学史来调动学生的积极性，对知识有较为系统全面的了解，帮助他们主动学习，在《椭圆及其标准方程》中，椭圆的定义具有高度的统一美、对称美、和谐美，椭圆的方程具有简洁美、对称美，在本节课中，数学美的四个基本特征得到了淋漓尽致的体现，但学生的基础知识和数学审美能力有限，并不都具有理想的鉴赏能力，因此，唤醒他们对数学的美好情感，崇尚对数学美的追求，是教学的任务之一。

4.3渗透数学文化的教学促进数学抽象素养的培育

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系;从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征，数学抽象具体表现在以下几个方面：形成数学概念与规则、形成数学命题与模型、形成数学方法与思想等，数学抽象反映了数学的本质特征，是数学核心素养之一，基于数学文化的教学设计，数学抽象素养的培育贯穿在整个教学过程之中，体现在从几何图形中抽象椭圆的概念、性质，椭圆的概念缘于图形，从各种图形中发现椭圆的特征，提炼数量关系，形成椭圆定义是理解椭圆概念的必由之路，更是形成数学抽象的重要载体。

参考文献

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