一种考虑燃气性质变化的喷管型面优化方法

孙得川， 于泽游

(大连理工大学 航空航天学院， 辽宁 大连 116024)

0 引言

化学火箭发动机普遍采用拉瓦尔喷管来加速工质并产生推力。良好的喷管型面具有更高的喷管效率，从而使发动机具有更好的性能。对于外层空间使用的发动机而言，喷管通常具有较大的面积比，因此其型面设计的优劣对性能影响更大。

目前空间变轨发动机的喷管面积比一般在200∶1～300∶1，真空比冲达到320 s左右。例如：欧洲空客空间系统(Airbus Space Systems)的远地点发动机S400-15，其面积比为330∶1，真空比冲达到321 s[1]；美国R-4D-14 455N高性能远地点发动机的真空比冲为(322.2±2)s[2]；我国第二代490 N远地点发动机的面积比为220∶1，真空比冲为315 s[3-4]，略低于国际先进水平。近期，我国正在研制更大推力的远地点发动机，其面积比为210∶1，热试车数据表明其真空比冲达到320 s. 因为发动机的实际真空比冲Is=Itηcηn是理论真空比冲It、燃烧效率ηc、喷管效率ηn的乘积，所以进一步提高比冲方法就是提高燃烧效率和喷管效率。由于提高燃烧效率势必会进一步提高燃烧室温度，由此带来材料、强度等方面的问题难以解决[5-7]，若能够通过改进喷管型面设计来进一步提高喷管效率，则相比提高燃烧效率要简单可行。

火箭发动机喷管型面设计并非新问题，国内外曾有许多研究，其中多数研究是针对扩张段进行型面设计。这些研究中最经典的是Rao提出的最大推力喷管型面方法[8]，该方法假设燃气在喷管中的流动为无黏等熵流动，并且燃气为量热完全气体(定压比热不变、比热比不变)。目前很多使用中的火箭发动机喷管都是据此进行设计的。例如根据欧洲S400-12远地点发动机已知条件[1]，本文采用Rao方法设计了不同比热比的扩张段型面，其中比热比γ=1.25所对应的型面曲线与S400-12型面基本一致，如图1所示。

此外，当考虑燃气黏性时，通常对Rao方法所设计的喷管型面进行边界层位移厚度修正。这种方法不仅应用在火箭发动机上，也广泛应用在超燃冲压发动机设计上[9-11]。还有研究者在Rao方法的基础上研究了假设气体性质为热完全气体时的冲压发动机型面，指出当来流总温大于1 000 K时采用热完全气体假设比较合适[12]。另外，尽管风洞喷管的设计目标与发动机不同，但其传统方法也多是基于特征线方法[13-15]。

除了Rao方法及特征线一类方法，也有很多学者研究了结合计算流体力学(CFD)和优化算法的喷管型面优化设计。例如在风洞喷管型面设计方面，吴盛豪等[16]采用重启全局最优化方法和高斯过程模型，对基础型面的边界层修正角和壁板扩开角进行了优化选择；在火箭发动机喷管设计方面，方丁酉[17]采用三次曲线近似喷管型面，研究了不同曲率型面的最优性能；方国尧等[18]针对固体火箭发动机的多种喷管型面进行了多目标优化，其中特型喷管型面也是采用三次多项式近似，但没有指出流场模拟的方法；方杰等[19]将某发动机喷管型面简化为双圆弧，进行了多学科优化设计，进行CFD计算时将喷管内的流动假定为冻结流；虞跨海等[20]进行固体火箭发动机喷管优化时将喷管型面分为两段三次多项式曲线，进行CFD计算时并未考虑燃气的性质变化；Yumusak等[21]在喷管型面优化设计中采用求解欧拉方程和有限反应速率模型进行数值模拟，针对3种不同型面函数进行了比较研究。

由上述火箭发动机喷管设计的现状可知，当前发动机喷管设计仍然以Rao方法及其修正为主。Rao方法的优势在于其设计理论符合流动特征，即扩张段型面坐标由流动状态决定，如果能够在计算过程中充分考虑燃气的真实热物理性质，则能获得性能优良的喷管型面； CFD优化方法虽然在流场数值模拟方面具有优势，但其前提是求解反映真实反应流动过程的Navier-Stokes方程，而这种计算工作量非常巨大；许多CFD优化研究将燃气作为冻结流或者物性参数不变的气体，这与Rao方法中的特征线法求解流场并无本质差别；另外，CFD优化设计喷管型面时，都是先以某种曲线函数来近似扩张段型面(即先给出型面坐标)，再通过调整曲线的参数来寻优，因此其结果只能是该曲线族中最优的，但是该曲线未必处处符合流动特征。

基于上述考虑，本文以Rao方法为基础，提出一种考虑真实燃气参数变化的简化修正方法，用于发动机喷管扩张段型面设计，以进一步提高真空比冲；以某空间发动机为例进行了设计结果的流场对比分析。

1 喷管型面设计方法

1.1 喷管设计基本参数

图2给出了空间发动机喷管内型面示意，其设计参数主要包括喉部半径Rt、收敛半径Ri、喉部上游圆弧半径Ru、喉部下游圆弧半径Rd、扩张半角β，有些设计方法还需要给定出口扩张半角θe.

1.2 扩张段设计的Rao方法与边界层修正

Rao方法是基于特征线法的优化方法[22]。二维轴对称有旋特征线法的相容性方程如下：

ρvdv+dp=0,

(1)

dp-c2dρ=0，

(2)

(3)

式中：ρ、v、p、c分别为密度、速度、压强和声速；Ma、α、θ分别为马赫数、马赫角和流动角；y为喷管径向坐标。相容性方程(1)式和(2)式沿着流线成立，其特征方程为

(4)

式中：x为喷管轴向坐标。

(3)式沿着马赫线成立，马赫线由(5)式定义：

(5)

在Rao方法中，假设燃气为量热完全气体，其比热比γ为常数，热力学参数均通过速度值计算如下：

(6)

式中：T、Ttot分别为气体温度和总温；cp为定压比热容；R为气体常数；p、ptot分别为气体压强和总压。

以上方法没有考虑气体黏性，因此通常做法是进行边界层修正。本文采用参考温度方法求解动量积分方程，得到边界层位移厚度[23]。二维黏性流动的动量积分方程为

(7)

式中：φ为动量厚度；H为边界层形状因子；Cf为表面摩擦系数。该方程为常微分方程，可以采用四步龙格-库塔方法求解。

1.3 燃气性质与修正方法

如前所述，Rao方法中假设燃气为量热完全气体，与实际偏差较大。一种修正方法是假设燃气为热完全气体，即比热等参数随温度变化，但燃气组分采用冻结流假设；另一种修正方法是考虑燃气在喷管流动中由于化学动力学而发生的组分变化，即燃气参数不仅随温度变化，也会随组分变化。

根据第二种思路，本文提出一种考虑组分变化的燃气性质计算方法，计算流程如图4所示。首先根据给定的燃烧室压力和推进剂数据对喷管进行化学平衡计算(热力计算)，得到燃气组成和燃气比热比沿着喷管轴线的变化；然后选择合适的比热比，应用Rao方法设计初始型面，通常选择喉部位置燃气的比热比或略大的值；得到初始喷管型面后，将其代入化学动力学计算中，得到喷管中燃气组分的变化；最后根据燃气组成调用热完全气体的热力学数据库，得到喷管中燃气的热力学性质。因为最终得到的型面与Rao方法设计的初始型面不会相差太大，所以在进行化学动力学计算时采用初始型面不会带来太大的影响。本文中化学平衡计算和化学动力学计算均采用一维喷管性能计算软件[24]。

根据上述步骤得到的燃气比热采用温度的多项式可表示为

cp=cp(T)，

(8)

而且Rao方法中热力学参数的计算需要从(6)式改为按照(9)式来求解：

(9)

2 某空间发动机喷管型面优化

2.1 初始型面设计

以某空间发动机喷管为例进行计算与设计。该发动机设计推力为750 N，采用四氧化二氮/一甲基肼作为推进剂，混合比为1.65，额定流量为0.235 kg/s，室压为0.85 MPa，喷管出口面积比为210∶1.

由一维发动机热力学计算得到燃气平衡流动和冻结流动假设下的比热比(以面积比表示)与喷管位置的关系，如图5所示，图中横坐标Ax/At为喷管任意截面面积Ax与喉部截面面积At之比。观察图5可知：假定燃气一直处于化学平衡状态时，比热比在喷管的很大区域内大约为1.25；当假定燃气为冻结流时，由于燃气组分不再变化，其比热比随着燃气膨胀、温度降低而增大。

根据热力学计算结果，并参考欧洲S400-12远地点发动机的设计，选取γ=1.25进行Rao喷管初始型面设计。设计中取Ru/Rt=1.633，Rd/Rt=0.816，扩张半角β=37.2°. 得到的喷管型面轮廓如图2所示，其面积比为210∶1，出口扩张角θe=8.4°，长度为15°锥形喷管的80%. 以该型面制造的发动机经热试车考核，其真空比冲达到320 s，燃烧效率达到97%.

2.2 化学动力学计算

根据初始型面进行喷管流动的化学动力学计算。本文针对四氧化二氮/一甲基肼的推进剂组合，采用如表1所示的化学反应机理[24]，其中A、N、B为反应速率常数

k=AT-Nexp(-1 000B/RT)

(10)

中的系数。表1备注中分别给出了各基元反应对应的第三体组分系数M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7，例如M1中CO组分的三体系数为1.5.

表1 四氧化二氮/一甲基肼反应机理

注：M1: CO/1.5/, CO2/6.4/, H/25/, H2/4/, H2O/10/, N/1/, NO/1.5/, N2/1.5/, O/25/, OH/25/, O2/1.5/;M2: CO/3/, CO2/4/, H/12.5/, H2/5/, H2O/17/, N/1/, NO/3/, N2/3/, O/12.5/, OH/12.5/, O2/6/;M3: CO/4/, CO2/8/, H/12.5/, H2/5/, H2O/5/, N/10/, NO/4/, N2/4/, O/12.5/,OH/12.5/, O2/11/;M4: CO/1/, CO2/3/, H/10/, H2/2/, H2O/7/, N/10/, NO/1/, N2/1/, O/10/,OH/10/, O2/1/;M5: CO/1/, CO2/2/, H/10/, H2/2/, H2O/3/, N/10/, NO/1/, N2/1/, O/10/,OH/10/, O2/1/;M6: CO/1/, CO2/5/, H/1/, H2/1/, H2O/1/, N/1/, NO/1/, N2/2/, O/1/,OH/1/, O2/25/;M7: CO/4/, CO2/5/, H/12.5/, H2/5/, H2O/5/, N/1/, NO/4/, N2/4/, O/12.5/,OH/12.5/, O2/5/.

经过化学动力学计算，得到喷管中燃气比热比变化如图6所示。由图6可见，当考虑了流动中的化学反应后，比热比数值介于化学平衡流和冻结流之间，其值随着面积比增长的趋势与冻结流更接近。

燃气定压比热与温度的关系如图6所示，本文中，该曲线采用分段多项式插值的形式来表示：

cp=a0+a1T+a2T2+a3T3+a4T4，

(11)

当T≥1 000 K时，a0=1 188.272 96,a1=0.745 02,a2=-2.150 67×10-4，a3=2.615 93×10-8，a4=-7.067 41×10-13；当T<1 000 K时，a0=1 476.109 31，a1=-0.148 38，a2=7.948 36×10-4，a3=-4.604 44×10-7，a4=8.114 03×10-11.

2.3 喷管性能仿真

为了准确、快速评估喷管型面设计，本文采用FLUENT软件对喷管进行性能仿真计算，选择隐式2阶Roe-FDS计算格式，湍流模型采用RNGk-ε模型，近壁区域采用其中Enhanced Wall Function方法进行处理。燃气性质由前述化学平衡计算和化学动力学计算给出，其中燃气分子量为20.56，导热系数k=0.242 W/(m·K)，动力黏性系数μ=7.789 4×10-5Pa·s，定压比热按照(11)式确定。计算网格为Gambit软件生成的二维结构网格，壁面第1层网格的y+<1.0.

根据推力公式

(12)

为了保证计算可靠性，本文对初始型面的喷管流场做了网格相关性研究，不同网格数目和不同壁面网格尺度的计算结果列举在表2中。其中Fm表示动量推力，Fp表示压差推力。从表2中可以看到，不同网格得到的计算结果相差很小，真空推力最大偏差小于1 N，与平均推力735 N相比其偏差约为1.36‰. 综合考虑计算工作量，本文选取288×80网格进行后续计算评估。

表2 不同网格的750 N发动机计算结果

2.4 考虑燃气性质的型面设计

通过化学动力学计算得到的燃气定压比热曲线((11)式)代入修正的型面计算程序中，可以得到考虑燃气比热变化的扩张段型面。为了便于对比，本文设计的新型面喷管长度与初始型面喷管长度一致。此外，在新型面基础上还进行了边界层修正设计。

图7给出了初始型面、新型面、新型面+边界层修正的对比，其中坐标以喷管喉部半径Rt进行了无量纲处理。从图7可以看到，当考虑实际燃气的比热变化时，所得到的型面比Rao方法设计的初始型面要“瘦”，其初始扩张半角β=35.7°，出口面积比181∶1，都比初始型面有所减小，但是出口扩张角θe=11.2°略有增大。因为喷管尺度不大，所以边界层的位移厚度增长不多，在轴向(无量纲)坐标超过15以后才可观察到较明显的位移厚度变化。

表3列出了3种型面喷管的真空推力、动量推力和压差推力。从表3中可以看到，新型面真空推力比初始型面略高约1.446 N，由此得到真空比冲约提高1.446/(0.235×9.8)=0.63 s. 因为新型面出口面积比略有减小，所以压差推力比初始型面略小，故新型面真空推力的提高主要是因为动量推力增大引起的。对新型面进行位移厚度修正后，其动量推力和真空总推力略有提高，与初始型面比较，真空比冲提升约1.74/(0.235×9.8)=0.76 s.

表3 不同型面喷管的推力

图8所示为不同型面喷管出口截面的动量通量分布，根据图中动量通量曲线变化趋势可知，新型面出口动量通量分布比初始型面动量通量分布更为均匀和饱满，靠近中心的动量通量得到了提高；但是由于动量推力还需要进行面积积分，而靠近中心的面积较小，动量推力的增加并不像动量通量分布差异那么大。

2.5 讨论

通过上述计算和对比分析可以看到，当以Rao方法为基础并考虑真实燃气的比热变化来设计喷管扩张段型面时，新型面比采用量热完全气体假设的型面要“细”，这是因为实际气体比热比在膨胀降温过程中一般大于设定值，气体膨胀做功能力增强。尽管出口面积比有所减小，但是真空比冲却略有增大。从喷管结构方面考虑，较细的喷管不仅占有空间小，而且可以减轻质量。

由于化学反应与当地压强和温度都有关，本文采用Rao方法设计的初始型面作为喷管化学动力学计算的输入条件，计算结果与新设计的喷管流动会有一定偏差，理想方法是将新型面代入喷管化学动力学计算中进行迭代设计，最终得到优化型面；但是因为核心区变化不大，并且喷管长度没有变化，而化学反应主要与停留时间有关，所以本文认为反应停留时间基本相等，新型面和旧型面所带来的燃气性质偏差不大，故未进行迭代计算。

从计算结果分析可知：在不增加喷管长度的前提下，改进设计方法所提高的真空比冲在0.76 s左右；若希望获得更高的性能，则需要增加喷管长度。另外，对于推力较小的空间发动机，其空间尺度较小，因此边界层位移厚度较小，位移厚度修正所带来的增益很小。

3 结论

本文针对火箭发动机喷管设计，基于Rao方法提出了一种考虑真实燃气比热容变化的修正方法，并采用该方法改进了某空间发动机的喷管型面，进行了流场仿真验证和分析。得到结论如下：

1) 本文提出的计算燃气比热容的方法可有效用于喷管流场仿真，计算结果与热试车结果符合较好。

2) 在Rao方法中考虑真实燃气的比热变化，所设计的喷管型面初始扩张半角较小、出口面积比较小，但真空比冲更高。

3) 喷管长度不变条件下，考虑燃气比热变化所设计的喷管性能提升不大，小于1 s.

4) 对于推力不太大的空间发动机，边界层厚度修正所带来的性能增益很小。