折射率对微角度测量系统的影响分析

杨 波，章 骏，倪江利

安徽三联学院基础实验教学中心，合肥,230601

角度测量广泛应用于多个领域，如航空航天、光机电一体化、军事、原子力显微镜成像等。随着技术水平的不断提高，国内外相继研究出了各种角度测量仪器，使得角度测量水平和精度在不断地提高。但是，早期的方法不利于实现自动化测量，测量精度受限。由于稳定的光电技术的发展，应用光学测角技术越来越广泛，具有高灵敏度、高测量精度、高分辨率等多方面的优点。目前，常用的光学测角法主要有光学内反射法、自准直法、环形激光法和激光干涉法等[1-5]。其中，传统双光束干涉测角法通过测量干涉条纹的移动使得测量精度和分辨率变高，从而具有更广泛的应用。

然而，传统的双光束干涉测角法有较大的体积、复杂的测量结构，难以实现准直等一系列不可避免的问题。因此，研究者选择了体积更小、光路易准直、结构更紧凑的自混合干涉测角法代替传统的双光束干涉测角法[6-8]。目前，已有研究者对基于激光自混合干涉测角法进行了初步的研究[9,10]。其测量原理主要是利用旋转平面镜测量微小角度，在平面镜旋转过程中光程会发生改变，由平面镜反射的光会重新进入激光器腔内，从而产生自混合干涉。当光程每改变半个波长时，输出光功率就会改变一个条纹，通过条纹计数法即可获得所测角度的大小。但是，这一方法也有难以避免的问题：当平面镜旋转时，入射到平面镜上的光经反射后不会沿原路返回。当旋转角度稍大时，返回到激光器腔内的光会减少甚至没有光返回，从而会导致自混合干涉信号变弱甚至消失。

为了解决上述问题，本文选择了用一个直角棱镜代替平面镜，通过旋转直角棱镜进行角度测量[11,12]。由于直角棱镜的特性，在其旋转的过程中，无论入射角度多大，从直角棱镜折射的光束都会与入射进直角棱镜的光束保持平行，从而保证了在合适的旋转角度范围内都有光束沿原路返回到激光器腔内，产生自混合干涉信号。相比较于旋转平面镜测量微角度的方法，本文利用旋转直角棱镜进行微角度测量的系统可以获得更高的测量分辨率和更大的测量范围。而对于该测角系统，还可以从多个方面进行优化，进一步提高其测量分辨率和测角范围。在曾经的研究中已经对比分析了直角棱镜的边长对测量结果的影响，得出了边长越长则测量分辨率越高的结论[13]。本文主要是针对直角棱镜的折射率这一因素进行分析，对比了几个不同折射率的直角棱镜在进行微角度测量过程中的结果，从而得出了在合适的范围内，如果选择较大折射率的直角棱镜进行旋转角度的测量，可以获得更高分辨率的结论。

1 测量原理

为了更加清楚地分析和优化微角度测量系统的分辨率，研究小组设计了如图1所示的微角度测量系统。根据之前的理论及实验分析结果，本文选择能获得较高分辨率的微片激光器作为光源，从激光器射出的光束经过一个分束器分成两路光，其中一束光经放置于转盘上的直角棱镜的斜面入射，在棱镜内部经直角面两次反射后又从斜面，即原入射面射出。经过直角棱镜的射出光和入射光束始终保持平行，因而射出光又经平面镜反射后可沿原光路返回，重新进入激光器腔内，和腔内的光发生自混合干涉。干涉后的光束经信号处理单元前的光电二极管检测，接着检测到的信号由模数转换器转换成可被计算机处理的数字信号。最后，通过对采集到的数据和图形进行对比分析，经条纹计数法可以获得直角棱镜旋转时的角度值。接着在该装置的基础上，还可以通过改变激光器，或是更换不同边长的直角棱镜等方式进一步地提高微角度测量系统的测量分辨率及测量范围。

图1 基于直角棱镜的微角度测量系统装置图

图2所示为直角棱镜在旋转过程中的光路变化图。图2(a)为直角棱镜初始时刻，即还未转动时刻的光路，此时转角θ=0°。图2(b)为直角棱镜旋转角度为θ时入射光和射出光的光路变化情况。根据直角棱镜的特性可知，无论入射到棱镜斜面的角度多大，入射光进入棱镜内经两个直角面反射后，又从原入射的斜面再次射出的光路和入射光路会始终保持平行，对应于图中的ME光路和FN光路。本文的微角度测量系统正是利用了直角棱镜的这一特性，可以保证在合适的较小范围内的棱镜旋转过程中，光路都可以沿原路返回到激光器腔内，从而产生自混合干涉，大大降低了由于只通过旋转平面镜导致光路不能沿原路返回产生的测量误差。由图2中显示的几何关系，经过数值计算，可以得出直角棱镜在旋转过程中产生的光程差，如下列几个公式所示：

(1)

(2)

(3)

(4)

图2 直角棱镜中光路变化图

公式(1)表示的是图2(b)中ME的光程，公式(2)表示的是图2(b)中直角棱镜内部EC加CD加DF的光程，公式(3)表示的是图2(b)中FN的光程，公式(4)表示的是直角棱镜旋转θ角度时的光程差。其中a指的是直角棱镜直角边的边长，h指的是转盘圆心位置到平面镜所在位置的垂直距离，θ指的是光束进入直角棱镜斜面的入射角，γ指的是光束进入斜面的折射角，q1指的是棱镜AC段长度，q2指的是棱镜OC段长度。从公式(4)中可看出，光程差的大小受直角棱镜边长a和折射率n的影响，其与边长成正比关系。在优化微角度测量系统时，可以通过选择较大边长的直角棱镜进一步提高测量角度的分辨率。根据已有的分析结论，研究小组选择了直角边边长等于5 cm的棱镜进行研究，但是公式中光程差与棱镜折射率的关系无法直接看出，通过数值模拟以及选择一定范围内的折射率，可以获得折射率与对应光程差的关系。

2 模拟分析

图3中体现了棱镜折射率与所对应光程差之间的关系。从图中可以很明显地看出，光程差随着折射率的增大而逐渐增大，从而说明了利用旋转直角棱镜测量微角度的系统中选择合适材料的重要性。通过光程差与条纹数之间的关系可知，光程差越大，则条纹数越多。因而折射率较大的直角棱镜会对应较大的光程差，即对于相同的测量角度，折射率越大的直角棱镜，在测量过程中就会出现越多的条纹数，条纹之间的间隔就越小，从而使角度测量分辨率提高。因而，在优化微角度测量系统的过程中，可以通过选择合适的折射率较大的直角棱镜来增加光程差，从而进一步提高系统的测量分辨率。

图3 折射率和光程差关系图

为了更加清楚地反应折射率对所测量角度的影响，研究小组绘制了对应于不同折射率的角度和光程差的关系图，如图4所示。从图4可以看出，随着直角棱镜的旋转，角度逐渐增大，光程差也随之增大。研究中选择了折射率分别为1.54、1.52和1.50的三种直角棱镜进行对比分析。图4中从上到下对应的曲线分别为折射率等于1.54、1.52和1.5的直角棱镜在旋转过程中角度和光程差之间的关系。对于相同的测量角度时，折射率越大的直角棱镜，所获得的光程差也越大。由图4可知，随着角度的逐渐增大，三条曲线的间距也是越来越大。说明随着所测角度的增大，折射率越大的直角棱镜对应的光程差增大地越快，即对应的条纹数更多、更密集。

图4 不同折射率对于测角系统中光程差的影响

为了验证这一结论，研究小组模拟分析了测量角度和条纹数之间的关系，结果如图5所示。

图5 不同折射率下的测角系统模拟信号图

图5为采用微片激光器作为光源的微角度测量系统的模拟信号图。随着直角棱镜的旋转，角度逐渐增大，对应的条纹数逐渐增多，通过条纹计数法，可以获得不同条纹数对应的旋转角度。图5中从上到下分别是选择折射率等于1.50、1.52和1.54的直角棱镜在旋转测角过程中获得的条纹图。从图5中可以看出，随着角度的增大，条纹越来越密集。并且对应于相同的测量角度时，折射率越大的直角棱镜旋转过程中出现的条纹数越多。例如，当测量角度为18 mrad时，折射率为1.54的图中出现了16.5个条纹，折射率为1.52的图5中出现了 16个条纹，而折射率为1.50的图中只出现了15个条纹。只观察第一个条纹的峰值所对应的测量角度可以发现，折射率为1.54的直角棱镜对应的测量角度最小，约为3.19 mrad，而折射率为1.50的直角棱镜所对应的角度最大，约为3.38 mrad。因此，对于折射率较大的直角棱镜，相同的测量角度对应的条纹数更多、更密集，反之，相同的条纹数对应的测量角度却更小，这些都说明了用折射率较大的直角棱镜测量旋转角度时可以获得更大的测量分辨率。

为了更好地反映不同折射率的直角棱镜对微角度测量系统的分辨率的影响，研究小组绘制了如图6所示的待测角度和条纹数之间的关系图。

图6 待测角度和条纹数之间的关系

本文主要采用的是条纹计数法来计算直角棱镜旋转的角度，由于外腔长每改变半个波长，激光自混合干涉条纹就会移动一条，而光程差的改变量是外腔长变化的2倍。为了减小误差，可以令公式(4)等于半波长的倍数，即每隔半个条纹计数一次，因此图6横坐标表示的是0，0.5，1，1.5…10条条纹数，纵坐标为不同条纹数对应的所测角度。此时依然选择折射率分别为1.50、1.52和1.54三种直角棱镜进行模拟研究，图6中的三条曲线从上到下分别是折射率为1.50、1.52和1.54的直角棱镜测量结果，分别对应于空心方形的点、实心圆形的点和空心三角形的点。为了更加清楚地看出这三种不同折射率的直角棱镜对测量结果的影响，研究小组同时绘制了细节图，如图6左上角所示。通过放大条纹数从0.75到1.25之间三种直角棱镜的所测结果，可以明显地看出，从一开始折射率较小的直角棱镜测量结果就高于折射率较大的直角棱镜。从图6右下角的细节图可以看出，折射率为1.50的直角棱镜始终最高，同时与整个图以及左上角的细节图进行对比可以，发现三条曲线之间的间隔随着条纹数的增多，即所测旋转角度的增大而逐渐增大。从细节图中观察可以得出，当出现的条纹数为10条时，折射率为1.50的直角棱镜所测角度约为15.03 mrad，折射率为1.52的直角棱镜所测角度约为14.82 mrad，而折射率为1.54的直角棱镜所测角度约为14.64 mrad。当出现条纹数一致时，所测角度越小，就说明条纹越密集，从而说明当所测角度一致时，折射率越大的直角棱镜对应出现的条纹数越多，条纹之间的间隔越小，分辨率也越高，这一结论与图5保持一致。因而在优化微角度测量系统时，可以通过更换合适的更大折射率的直角棱镜，从而进一步提高测角系统的测量分辨率。

3 结 语

本文针对基于自混合干涉的旋转直角棱镜测量微角度的系统，提出了进一步优化测角系统的方法。文中选定微片激光器作为光源，选择直角边边长为5 cm的棱镜作为测量旋转微角度的关键元件，分析了直角棱镜的折射率对于测量分辨率的影响。通过更换折射率分别为1.50、1.52和1.54三种不同折射率的直角棱镜进一步对比分析了其对所测量角度的影响。当所测量角度均为18 mrad时，这三种直角棱镜所出现的条纹数分别为15、16和16.5条。当测量角度相同时，条纹数越多，说明条纹间隔越小，分辨率越高。同时，理论模拟了出现条纹数均为10条时，三种直角棱镜所对应的测量角度值分别为15.03 mrad、14.82 mrad和14.64 mrad，当条纹数相同时，测量角度值越小，说明条纹越密集，即测量分辨率越高。因而得出了在合适的范围内选择较大折射率的直角棱镜进行微角度测量，可以获得更大分辨率的结论。通过对折射率的影响分析，可以为接下来的微角度测量系统的研究和优化提供更好的理论基础，同时对基于自混合干涉的其他物理量的测量与研究也有着十分重要的意义。