数学应用与建模的中德比较

钱月凤

(苏州大学数学科学学院 215006)

数学应用与建模是数学教育中一个重要的研究领域．ICTMA每两年举行一次有关数学建模的国际讨论会议，在这些会议上做出的报告会发表在Springer“数学建模教与学的国际视角”专题．另外，ICMI也十分关注数学教育中的建模与应用；自1976年ICME 3以来，应用与建模的相关性进一步加强．其中，德国在这一国际领域做出了重要贡献，尤其是建模循环(Modelling Cycles)的研究十分丰富．而我国新的高中数学课程标准将“数学建模”作为六个核心素养之一，已于2018年正式颁布．基于这样的国际背景与课改趋势， 数学应用与建模的中德比较研究很有必要.

1 课程(教育)标准

在我国，数学建模活动普遍存在于大学，而中学数学课程中建模的内容相对较少．2001年颁布《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》后，数学建模才开始进入中学数学课程．而2012年颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》新增“模型思想”作为十个核心概念之一，并提出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径．建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义”[1]．2003年，我国颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》，第一次把“数学建模”作为贯穿于整个高中数学课程的重要内容．2018年颁布的《普通高中数学课程标准(2017年版)》将“数学建模”定义为“是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”，且十分详细地对其进行了三个水平的划分[2].

在联邦德国，各个联邦州对教育享有独立的自主权，各州都有独立的数学课程大纲，而各州的教育质量参差不齐．为保障教育均衡发展，2003年，德国第一次颁布全联邦性的教育标准．在德国2003年中学数学教育标准、2004年小学数学教育标准以及2012年高等教育入学资格教育标准中，均将数学建模描述为一种能力．例如，2012年德国文化部长联席会议(KMK)针对完全中学高中毕业生颁布的《高中数学教育标准》将数学建模能力划分为以下三个水平[3]：

水平Ⅰ：学生会用熟知的模型；会将实际情境直接转化为某个数学模型；会根据实际情境验证数学结果.

水平Ⅱ：学生会进行有一定限制条件的多步骤建模；会解释这类模型给出的结果；会调整数学模型以适应不同的情境.

水平Ⅲ：学生会根据复杂实际情境模型，确定变量和条件；会检验、比较和评价实际情境下的数学模型.

从以上介绍中可以看出，两国都强调数学应用与建模的重要性，这也符合国际数学课程改革的趋势．我国的数学课程标准主要强调发展学生的数学模型思想，增强学生的应用意识，提升数学建模核心素养；德国的数学教育标准则着重强调提高学生的数学建模能力.

2 建模循环

主要从“应用观点与建模视角”、“建模循环的不同描述”和“数字工具与建模”三个方面介绍两国的建模循环研究.

2.1 应用观点与建模视角

数学教育研究领域中有关应用与建模的国际或国家讨论大多基于不同的理论视角，从而出现不同倾向的应用观点与建模视角.

在我国，一般基于现实应用视角，将数学建模作为问题解决的一个重要方面．我国学者李明振和喻平指出，数学建模是实现数学学科应用功能的重要中介和基本形式[4]．喻平强调，数学建模与数据分析属于问题解决范畴，因此可能有包含关系之嫌，但是，问题解决具有的性质是数学建模和数据分析不能涵盖的[5]．另外，有学者强调数学建模不同于传统解题只将焦点放在问题的数学表征和数学解答上，而将焦点从发现解答改变为转换与诠释情境信息，辨别潜在的问题，建立模型，再诠释数学解答的前提、假设与可能的误差[6].

在德国，Blum根据应用数学教育的目的，总结了四种应用观点[7]：

①实用主义观点：数学作为特殊的应用工具，应该有助于学生理解和应对各种不同的数学情境；

②形式主义观点：应用可以促进无法立即为特殊情况提供帮助的一般技能与态度的发展；

③科学哲学观点：应用为学生提供了一个关于数学的整体印象；

④学习心理学观点：应用被看作是学习数学的一种帮助.

21世纪初，Kaiser和Sriraman对学校数学建模的理论视角进行了分类[8]．随后，不同倾向的理论视角在德国建模的讨论中进一步分化，主要有以下四种[7]：

①现实应用建模(Realistic and applied modeling)：建模被看作是解决实际问题的行为，侧重于解决实际问题、理解实际、鼓励提高建模技能；

②教学(法)建模(Pedagogical modeling)：建模完全包含于教学，一方面鼓励建模的学习过程，另一方面包括通过建模实例来引入并练习新的数学方法；

③社会批判建模(Socio-critical modeling)：建模旨在批判性地考查数学模型和数学在社会中的一般作用；

④认知建模(Cognitive modeling)：注重分析和理解学生在建模问题中发生的认知过程.

2.2 建模循环的不同描述

基于不同的建模理论视角，研究者提出了对建模过程的不同描述，两国研究均将建模过程视作一个循环，即建模循环.

20世纪末，我国叶其孝教授就指出，数学建模是建立数学模型过程的缩略表示，数学建模的过程可用图1中的框图体现，并强调数学建模是上述框图多次循环执行的过程[9]．目前，我国《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出数学建模可通过图2体现[2].

自20世纪80年代以来，德国对数学建模的关注大大加强．Blum的建模循环是德国最著名的建模循环[7](见图3)．2005年，Blum和Leiß又一起创建了一个建模循环[7](见图4)．该建模循环指出，个体将实际情境转化为实际模型时，会主动构建对实际情境的心理表征，即情境模型.

图1 数学建模的主要过程(叶其孝)

图2 (中国)数学建模过程

图3 Blum的建模循环

图4 Blum和Leiβ的建模循环

图5 一个建模循环问题的理想问题解决过程

图5是建模循环的一个例子[7]．为了计算容器中沙子的体积，首先必须简化这一问题．例如，假设沙子均匀地分布在容器中，容器的填充水平与装载量大致相当；容器的材料厚度忽略不计，即认为容器的外部尺寸和内部尺寸相等；容器也没有碰撞或其他不平整现象．之后为了将实际问题转换成数学问题，建立梯形棱柱模型，并计算该棱柱的体积，得到数学解，该解可以解释为容器中沙子的体积．而为了验证解是否合理，还要将数学解应用于实际情境进行检验.

2.3 数字工具与建模

当代数字工具(比如计算机、计算器等)的迅速发展普及，对数学建模活动产生了极大影响．我国和德国均注重数字工具在数学建模中的应用.

早在20世纪末，我国学者张思明曾强调，计算机是数学建模的重要工具，并以中学的数学建模为例，指出计算机在数学建模中具有以下重要功能：计算；数据处理；模拟；资料搜索；文字、图像、表格的处理[10]．随着电子计算机的飞速发展，利用计算机工具并结合数学方法求解数学模型，已是建模循环中重要的一个步骤(见图6).

图6 数学建模的过程(张思明)

一方面，数字工具在数学建模中可执行模拟、计算、可视化、控制和验证等任务．使用数字工具解决建模问题需要两个转化过程：①理解并简化建模问题，将其转化成数学；②数学术语翻译成计算机语言，计算机得出的结果转化为数学语言．这样的转化过程可从图7[11]中体现．另一方面，计算机的不同能力又可表示为建模循环中的一系列步骤．Greefrath对Blum和Leiβ的建模循环(图4)进行了修改，得到图8“建模中数字工具的可能能力”(见斜体)[11].

图7 拓展的建模循环(Siller和Greefrath，2010)

图8 建模中数字工具的可能能力

3 具体做法

主要从课程设置、教材处理、建模评价和教师培训四个角度介绍两国数学应用与建模方面的做法.

3.1 课程设置

我国和德国均没有设置专门的数学建模课程．在我国，要求将数学建模的思想方法融入课堂教学，数学建模活动很少在常规的数学课堂中进行，比较常见的是以校本课程、兴趣小组、论文报告、选修课及课外活动等方式进行．然而，有学者提出，以兴趣小组的形式开展数学建模的话，由于选择面比较广，很少有学生会选择数学方面的，从而导致实施状况不佳[12]．在德国，单一的建模课程以及整个建模教学单元的设计一直是其研究的重点．为了将数学建模课程实施到学校，德国一些大型项目研究(如DISUM、STRATUM、KOMMA等)致力于收集各种建模任务、设计不同建模问题、创建不同目标的教学单元等，旨在通过不同的方式研究并培养学生的建模能力.

3.2 教材处理

数学建模在教材中一般具有两个基本功能：一是反映函数模型在解决实际问题中的作用；二是通过数学建模引入新的数学内容．我国义务教育阶段的数学教材设置了“综合与实践”栏目，包含许多与实际相关的问题，需要教师发现并将其运用于数学建模的教学．研究发现，高中阶段的数学教材所使用的问题大部分是应用题性质的问题，已经过加工，结构良好，可以直接套用某种函数模型；但总体上问题与真实情境有较大迁移距离[13]．随着教材编制理念的多元化，课程标准的开放及评价方式的改变，我国的数学教材在建模材料组织方式上将会有更多形式和导向性.

德国的数学教材一般包含许多与实际相关的例题，其背景取材倾向于社会生活实例．比如德国巴伐利亚州最新的数学课程大纲强调来自自然、技术以及经济领域的丰富例子会使学生认识到增长以及衰变过程的重大意义，建议选择人口增长或者放射性衰变等例子来认识如何使用指数函数来模拟增长或者衰变过程[14]．有研究表明，比起我国，德国教材更加强调数学的实用性，比如德国教材《Elememte der Mathematik 10》每章都安排了研究性的专题学习内容——“关注点”，该部分侧重于选择一些与本章内容有关的、跨学科的、复杂而有趣的现实世界的数学问题，鼓励学生通过一系列的观察、实践等操作收集数据、建立模型，从而利用数学真正地解决实际问题[15].

3.3 建模评价

由于建模问题的复杂性及开放性，建模评价需要考虑多方面的因素，其评价方式也多种多样．我国《普通高中数学课程标准(2017年版)》强调，在数学建模活动的教学评价中，“应引导每个学生都积极参加，可以是个体活动，也可以是小组活动”，“除了教师和学生，还可以邀请家长、有关方面的专家，对研究报告或小论文作出评价”[2]．目前，我国的数学试卷含有应用题，但它与真正的建模问题并不等同．为了更好地评价学生数学建模的表现，我国部分地区开展了数学知识应用竞赛．1991年10月，上海市举办了首届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(初赛)，并于翌年举行决赛，成为我国中小学数学应用和建模活动的肇始．1997年，北京市举办了高中生数学知识应用竞赛，在我国高中数学教育界产生了较大的影响.

基于能力的标准，德国的建模评价着重于对学生数学建模能力的评价．目前，德国各地若干大学发起了建模实践活动的特殊形式：建模周或建模日，以评价学生的学习成果及建模能力．在建模周或建模日期间，不同年龄的学生(视特殊项目而定)需在规定时间内完成一项高难度的任务．建模周通常持续一周，在校外进行；而建模日仅需两三天，在校内进行．比如自2001年以来，德国汉堡大学每年举行两次“建模周”活动，约有200名来自汉堡及其周边地区学校的高中生(16～18岁学生)参加.

在建模能力评价研究方面，我国除少数研究外(比如徐斌艳对建模能力水平的分级标准[16]、徐稼红对建模能力评价途径和方法的阐述[17]等)，大多是教学经验总结、对建模能力培养的心得体会．相比我国，德国有关评价建模能力的研究更细化、更深入．比如，德国学者Niss和Jensen曾提出一个总体评价建模能力的几何模型(见图9)，该模型涉及三个维度的能力：覆盖程度、行动半径和技术水平[18]．另外，德国还有评价教师建模能力的研究，比如Borromeo Ferri和Blum区分了五种不同的“教师建模能力”：理论导向的能力、任务相关的能力、教学能力、诊断能力、评价能力[7].

图9 评价建模能力的可视化表征

3.4 教师培训

数学教师往往会在数学应用与建模的教学中遇到各种障碍，因而数学应用与建模的教师培训很有必要．然而，我国的教师培训大多以讲座和网上培训的形式对所有科目的教师一起进行培训，即便有单独针对数学教师的培训，但以数学应用与建模为主题的培训几乎没有.

在德国，存在以数学应用与建模为主题的教师培训课程，比如在国际项目LEMA框架下开发的教师培训课程．该课程围绕以下四大类别进行设计：

①建模：为了将建模实施到课程中，教师需要与建模相关的背景信息(子类别：建模是什么？为什么要建模？)；

②任务：设计课程时，教师需要学习如何为他们的学生选择适当的任务并预测建模结果．根据如何教授建模的相关假设，应选择各种各样的任务(子类别：任务的发现、任务的创建、任务的分类和任务的变更)；

③课程：教师需要有关如何设计建模课程以及如何在课堂实施课程的信息(子类别：教学方法、ICT的使用、支持建模能力的发展、通过建模联系数学内容)；

④评价：评价不该只为了评分，还应用于通过反馈支持学习(子类别：形成性评价、总结性评价和反馈)[19].

评估结果表明，就建模而言，该课程对教师的教学内容知识和自我效能感具有较强的积极影响[19].

4 小结与建议

对以上介绍进行小结：

①我国的数学课程标准强调发展学生的模型思想和应用意识，提升其数学建模核心素养，德国的数学教育标准强调提高学生的数学建模能力；

②基于数学教育研究领域的不同理论，两国均出现了不同倾向的应用观点和建模视角；

③两国都将数学建模的过程视作一个循环，且强调数字工具在建模循环中的作用；

④与我国相比，德国对“建模循环”的描述相对比较丰富有趣；

⑤我国和德国均没有设置专门的数学建模课程；而在德国，建模课程的设计一直是其研究的重点；

⑥数学建模在两国数学教材中的基本功能类似；

⑦德国的建模评价着重于对学生数学建模能力的评价；相比我国，德国有关建模能力评价的研究较细化、深入，且还有对“教师建模能力”评价的相关研究；

⑧我国以数学应用与建模为主题的教师培训几乎没有，而德国有在国际项目框架下开发的教师培训课程.

通过比较，学习德国数学应用与建模比较好的方面，提出以下若干未来可能的研究方向及建议：

①重视数学建模能力的刻画与评价，尤其要重视数学教师建模能力的刻画与评价；

②丰富建模循环的理论研究；

③注重建模课程设计的大型项目研究；

④教材方面，可以为教师准备专门的数学应用与建模的材料(包括建模问题、建模任务等)，即注重建模教材的开发；

⑤注重建模理论与建模技能(如建模ICT技能)的结合，大力开展以数学应用与建模为主题的教师培训.