浅析恒成立问题常用的方法

张胜勇

(四川省巴中棠湖外语实验学校 四川 巴中棠 636600)

1 变量转化法

恒成立问题与一次函数联系:构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决,对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0),x∈[m,n]有:

例1若不等式2x－1＞mx2－m对满足－2≤m≤2的所有m都成立,求x的范 围。

解析:将不等式化为:m(x2－1)－(2x－1)＜0,构造一次型函数:g(m)＝(x2－1)m－(2x－1)原命题等价于对满足－2≤m≤2的m,使g(m)＜0恒成立。

小结:解题的关键是将看来是解关于x的不等式问题转化为以m为变量,x为参数的一次函数恒成立问题,再利用一次函数的图象或单调性解题。

构造二次函数

利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。

(1)当a＞0时,若f(x)＞0在[α,β]上恒成立⇔

例2:若不等式x2－2mx＋2m＋1＞0对满足0≤x≤1的所有实数x都成立,求m的取值范围。

解:设f(x)＝x2－2mx＋2m＋1

本题等价于函数f(x)在0≤x≤1上的最小值大于0,求m的取值范围。

(1)当m＜0时,f(x)在[0,1]上是增函数,因此f(0)是最小值,

(2)当0≤m≤1时,f(x)在x＝m时取得最小值

(3)当m＞1时,f(x)在[0,1]上是减函数,因此f(1)是最小值

小结:当化归为二次函数后,自变量是实数集的子集时,应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。

3 分离参数法

在题目中分离出参数,化成a＞f(x)(a＜f(x))型恒成立问题,再利用a＞fmax(x)(a＜fmin(x))求出参数范围。

解:如果x∈(－∞.1)时,f(x)恒有意义⇔不等式1＋2x＋a4x＞0对x∈(－∞,1)恒

令t＝2－x,g(t)＝－(t＋t2),又x∈(－∞.1),则)∴a＞g(t)对恒成立,又∵g(t)在上为减函数,

小结:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用f(x)＞m恒成立⇔f(x)min＞m;f(x)＜m恒成立⇔f(x)max＜m.本题也可以用零点分布策略求解.

4 数型结合法

小结:f(x)≤g(x)等价于在公共定义域区间内,函数y＝f(x)的图像落在y＝g(x)的下方,这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像,根据图像上下关系,确定参数取值范围。

本题通过对已知不等式变形处理后,挖掘不等式两边式子的几何意义,通过构造函数,运用数形结合的思想来求参数的取值范围,不仅能使问题变得直观,同时也起到了化繁为简的效果.

以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略,只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上,这些策略不是孤立的,在具体的解题实践中,往往需要综合考虑,灵活运用,才能使问题得以顺利解决。