分形集上的广义调和s-凸函数及Hadamard型不等式

孙 文 兵

(邵阳学院 理学院, 湖南 邵阳 422000)

1 引言与预备知识

很多不等式的研究都与函数凸性有关, 例如Hermite-Hadamard不等式: 令f:I⊆→是一个凸函数, 其中a,b∈I,a

(1)

如果f是凹的, 则不等式号相反. 目前, 关于Hermite-Hadamard型不等式的研究已取得了许多成果[1-14].

定义1[9]令I⊂(0,∞)是一个区间. 如果对所有的x,y∈I,t∈[0,1]以及某一固定的s∈(0,1], 均有

(2)

则称函数f:I→是一个调和s-凸(凹)函数.

定理1[9]令f:I⊂(0,∞)→是一个调和s-凸函数,a,b∈I,a

(3)

定义2[14]令I⊂{0}是一个区间. 对所有的x,y∈I,t∈[0,1], 均有

(4)

则称f:I→α(0<α≤1)是一个分形集上的广义调和凸函数. 如果不等式反号, 则f是一个分形集上的广义调和凹函数.

本文基于分形集理论及局部分数阶微积分理论[15-16], 给出分形集上广义调和s-凸函数的定义及其相关性质, 建立广义调和s-凸函数推广的Hermite-Hadamard不等式以及分形空间上其他与局部分数阶积分有关的Hermite-Hadamard型不等式.

1)aα+bα∈α,aαbα∈α;

2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α;

3)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα;

4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α;

5)aα(bαcα)=(aαbα)cα;

6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα;

7)aα+0α=0α+aα=aα且aα1α=1αaα=aα.

定义3[17]若对所有的u,v∈+(+=[0,∞)), 均有

其中λ1,λ2≥0,λ1+λ2=1, 则称函数f:+→α为第二种意义下的广义s-凸函数(0

引理1[15]1) 若f(x)=g(α)(x)∈Cα[a,b], 则

2) 若f(x),g(x)∈Dα[a,b], 且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a,b], 则

引理2[15]

2 主要结果

定义4令函数f:I⊂(0,∞)→α(0<α≤1). 如果对所有的x,y∈I,t∈[0,1]及某一固定的s∈(0,1], 均有

(5)

则称f是一个广义调和s-凸函数. 如果式(5)中不等号反号, 则称f是广义调和s-凹函数.

性质1如果f:I⊂(0,∞)→α是一个广义s-凸函数且不减的, 则f是一个广义调和s-凸函数.

证明: 对于x,y∈(0,∞)且t∈[0,1], 易证

因为f: (0,∞)→α是一个广义s-凸函数且不减的, 则

因此f是一个广义调和s-凸函数.

性质2如果f:I⊂(0,∞)→α是一个广义调和s-凸函数且不增的, 则f是一个广义s-凸函数.

证明: 对于x,y∈(0,∞)且t∈[0,1], 易证

因为f: (0,∞)→α是一个广义调和s-凸函数且不增的, 则

由定义3知,f是广义s-凸函数.

例1令0

如果bα≥0α且0α≤cα≤aα, 则f是广义s-凸函数(第二种意义下), 且f在区间(0,∞)上是不减的[17]. 根据性质1,f是广义调和s-凸函数.

定理2(广义调和s-凸函数的Hermite-Hadamard不等式) 令f:I⊂(0,∞)→α是分形空间上的一个广义调和s-凸函数, 且a,b∈I,a

(6)

证明: 因为f:I⊂(0,∞)→α是一个广义调和s-凸函数, 在式(5)中取则对所有的x,y∈I, 均有

(7)

将式(7)两边对t在[0,1]上局部分数阶积分, 由引理2和引理4, 可得

因此

(8)

另一方面, 注意到f是一个广义调和s-凸函数, 对t∈[0,1], 有

(9)

(10)

将式(9),(10)相加, 可得

(11)

将式(11)两边对t在[0,1]上局部分数阶积分, 由引理2可得

(12)

其中

证毕.

注1在定理2中, 取α=1, 则由不等式(6)可得不等式(3).

下面给出分形空间上的两个特殊函数:

1) Beta函数

2) 超几何函数

引理5令I⊂{0}是一个区间,f:I°⊂{0}→α(I°是I的内部)使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα(a,b),a,b∈I°,a

证明: 设

由局部分数阶分部积分, 可得

换元

可得

证毕.

定理3令I⊂(0,∞)是一个区间,f:I°→α(I°是I的内部)使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα[a,b],a,b∈I°,a1, 则对所有的x∈[a,b], 下列不等式均成立:

其中:

计算可得

类似地, 有

由式(15)～(19), 可得不等式(14). 证毕.

注2在定理3中, 取α=1, 可得文献[10]中定理8.

定理4令I⊂(0,∞)是一个区间,f:I°→α使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα[a,b],a,b∈I°,a1,则对所有的x∈[a,b], 下列不等式均成立:

证明: 设At=ta+(1-t)b. 对式(13)两边取模, 由引理3可得

计算可得

由引理2, 可得

(25)

因此, 结合式(21)～(25)可得结论. 证毕.

注3在不等式(20)中, 若取α=1, 则通过简单计算可得文献[10]中定理9.