钱 霞
(作者单位:江苏省淮安外国语学校)
我们在应用勾股定理解题时,常常会因考虑不全造成漏解,现将几种常见的错误归纳如下,希望引起同学们的重视.
【例1】如果一直角三角形的两边长分别为3和4,求这个三角形的周长.
【错解】设斜边的长度为x.
∴x2=32+42,∴x=5.
∴这个三角形的周长为3+4+5=12.
【分析】造成上面错解的原因是审题不清或思维定式,看到3和4就想到5.想得到正确答案须对本题进行分类.
【正解】设这个直角三角形第三边的长度为x.则分为以下两类情况:
①x是斜边,则x2=32+42,∴x=5,此时周长为3+4+5=12;
②4是斜边,则42=32+x2.
【例2】在△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,求BC的长度.
【错解】如图1所示,由勾股定理得:BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,∴BD=15,CD=6,
∴BC=BD+CD=15+6=21.
【分析】造成上面错解的原因是我们在画图的时候只考虑高AD在三角形的内部,忽略了高AD在三角形外部的情形.
【正解】由勾股定理知:
下面分成两种情况讨论:①∠C是锐角,则高AD在三角形内部,如图1所示,BC=BD+CD=21;②∠C是钝角,则高AD在三角形外部,如图2所示,BC=BD-CD=9.∴BC的长度为21或9.
图1
图2
【例3】有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为BC=6m,AC=8m.现将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
【错解】分类不全,得一或两个答案.
【分析】由于两直角边长分别为6m、8m,于是,可利用勾股定理求出其斜边的长.而题目只说明扩充成等腰三角形,并没有指明等腰三角形的底边和腰,所以应分情况求解.
【正解】在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理,得AB=10,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD应分以下三种情况:①如图3,当AB=AD=10时,可求CD=CB=6,△ABD的周长为32m;②如图4,当AB=BD=10时,可求CD=4,由勾股定理得AD=45,△ABD的周长为(20+45)m;③如图5,当BD=AD时,设AD=BD=x,则CD=x-6,在Rt△ACD中由勾股定理得x=△ABD的周长为
图3
图4
图5