数形结合思想在高中数学解题中的应用研究

施路成　王德江

摘 要 数形结合思想几乎贯穿了整个高中数学，数形结合思想在高中数学中的应用非常广泛，文中介绍了数形结合思想在集合中的应用，在方程与不等式中的应用，在函数最值问题中的应用等。同时也培养了学生们学习数学的思维能力，提高了学生学习数学的兴趣。正如华罗庚先生说的“数学思想百般好”。

关键词 数形结合 数学解题 数学应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

在教育改革的浪潮中，數学思想对数学教学和数学课程都产生了巨大影响，其中数形结合思想占了重要的作用，同时对数学教学也产生了深刻的影响。数形结合思想不仅研究了几何的直观性，也分析了代数的意义，它使代数的精确性与几何的直观性更加完美的结合在一起。数形结合思想贯穿整个高中数学体系，它是高中数学课程的一条主线，它是我们解决数学问题的一种方法，它是我们探索和研究数学的重要指导思想。

1数形结合思想在高中数学中的应用

1.1数形结合思想在集合中的应用

在集合的计算中，我们通常采用Venn图，数轴来解决集合的交，并，补集的运算。这样有助于让学生掌握对集合的运算。

例1：若集合 是小于9的正整数，，且， ，试求A与B。

解：通过Venn图我们可以清晰看出答案，即，

1.2数形结合思想在方程与不等式问题中的应用

利用二次函数图像来解一元二次方程根的分布情况，二次函数其中的图像与x轴交点的横坐标为方程的实根，即。

例2：一元二次方程的一根在上，另一根在上求的取值范围。

分析：用二次函数图像来研究根的分布情况，可以得出不等式与式子的几何意义。

二次函数图像图 三角形ABC图

解：由的两个根分布在区间与上的几何意义为与轴两交点的横坐标分别在区间，内。

由此可知

上式表示的点集是三角形的内部

解得

解得

点解得

而的几何意义是点与点连线的斜率.

即， =

小结：用数形结合的方法来解题目的时候，有些题目只用到端点值就可以解出来，然而有些的题目不仅要用到端点的值，而且还要用到对称轴和根的判别式。此题即用到了端点值，也用到了对称轴，最后通过几何转换，求出取值范围。

1.3数形结合思想在函数最值问题中的应用

最值问题是比较常见的数学问题，在生产与应用中也比较广泛。也是历年高考的高频考点之一。在高考中，它常与三角函数，不等式，二次函数以及一些几何知识紧密联系在一起。最值问题可以用不等式的知识来解，但用不等式计算时，计算量非常的大。我们可以考虑用代数式的几何意义，根据几何图形求最值问题。

例3：已知满足求的最大值与最小值。

分析：在椭圆求最值问题，一般用构造直线截距的方法来解题。

令则问题转化成在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为3，求轴上截距最大值与最小值。

解：由图可知，当与相切时，与轴有最大截距与最小截距。

即

由解得。故的最大值为，最小值为。

小结：数学中，数字缺乏直观性，图像缺乏严谨性，当二者结合时相互取长补短，本题就是通过观察图像列出等式，通过代数计算得出答案。

2数形结合思想在高考试题中的应用

数形结合思想能够帮助学生更好更快的解决高考题，尤其高考题中的选择和填空题更能突出数形结合的作用。下面用一道高考试题说明数形结合的作用。

例4：求方程lgxsinx=0解的个数。

A 1 B 2 C 3 D 4

分析：方程解的情况，可化为的情况，也可以看作函数与函数两函数图像交点的横坐标情况，所以只要精确画出两个函数在同一区间的图像，就很容易看出它们有几个交点，得到交点的个数就是原方程解的个数。

交点个数图

因为， 所以两个函数在同一区间有3个交点，所以解的个数有3个，故选C。

3运用数形结合思想应遵循的原则

第一，等价原则，在运用数形结合思想时，代数性质与几何性质的转化必须是等价的。

第二，双向性原则，运用数形结合思想时，一方面对几何的直观性进行分析，另一方面对抽象的代数问题进行探究，两个方面同时进行，如果只考虑一方面进行解题，在很多时候是很难行得通的。

数形结合思想虽然提高了学生们的解题效率，和准确率，但是数形结合思想也有其缺陷，它不适用于所有题目，有的题目运用数形结合思想来计算就算不出来准确答案，所以学生在运用数形结合思想解题时要慎重考虑。

参考文献

[1] 刘露露.探究高中数学教学中的数学思想方法[D].长春：东北师范大学，2013.

[2] 胡玉静.数形结合思想在高中数学教学中的应用与分析[D].信阳：信阳师范学院，2015.

[3] 郝文丽.浅谈数形结合思想在数学解题中的几点应用[J].魅力中国，2014（25）：245-245.

[4] 张树锦.活用“数形结合”，提高解题思维[J].语数外学习（高中数学教学），2014（06）：80.