合理引入参数，提高运算速度

郭炜

在解决解析几何相关问题时常常需要合理引入参数，以便迅速发现解题思路，减少运算量，提高解题速度.常见的设参方式有：①点参数；②斜率参数；③角参数；④线参数；⑤截距参数等，请看以下三个例子.

一、熟练运用“斜率参数”

解题反思 解法一使用“斜率参数”，参数只有1个，虽有较大的运算量，但思路清晰，应该很有信心做下去，而且通过直线MN垂直于z轴这一特殊位置，很容易猜想出该定点坐标，把探究题化归为证明题，可以進一步降低运算量.解法二使用“点参数”，参数量较多，思维量也较大，需要具备较强的综合分析问题的能力，运算量也较大，对于算理的要求也比较高.

二、合理运用“点参数”

分析1 将四边形的面积分割成两个三角形△AEF和△BEF.这种分割需要以EF为底，以A，B到EF的距离为高，表示三角形面积，这就要知道直线EF的方程，可以考虑“斜率参数”.

分析2 如果把四边形分割成△AEB和△AFB，因为已知点A，B的坐标，易得AB长度和直线AB的方程，要得到E，F到AB的高，可以用“点参数”设出点E的坐标.

解题反思 通过解答过程可发现本题利用“点参数”表示三角形面积比用“斜率参数”表示面积更方便，用“点参数”把面积表示出来后出现了关于x₀，y₀二元一次式子的最值问题，再用“角参数”表示出点的坐标，转化为三角函数的最值问题，则可进一步简化计算，遇到与面积相关的问题，通过分割后，三角形的底和高有时可用坐标表示，比较简单，所以一般用“点参数”比用“斜率参数”更容易表示出面积.

三、灵活运用“线参数”例3如图3，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站.为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值，

解题反思 一些同学在解决此问题时以o为原点，以OP为y轴建立平面直角坐标系，然后选择以直线AB的斜率k为参数（需对斜率不存在的情况进行讨论），用弦长公式分别表示出AB，CD的长度，从而AB+CD的长度就化归为关于斜率k的双根式函数问题.由于目标函数比较复杂，只有个别同学能够通过平方、换元得出最终答案.通过本例可发现在圆中经常选择弦心距为参数建模.一般地，当变化是由某线段引起的，经常选择线段长为参数，即“线参数”.

通过对以上三个问题的研究，我们发现，合理选取参数，对提高解析几何题的运算速度至关重要.同学们在复习中要注意比较，注重积累，不断优化.