浅谈大学数学教师如何有效使用教材

严冬梅

摘 要： 课程改革指出新课程要立足于学生适应现代生活和未来发展的需要，适应21世纪科学技术和社会可持续发展的需要，培养适合时代要求的高素質的人才。为了更好地促进新课程改革和提高教师业务水平，本文从领悟教材编写意图，把握章节内容结构；注重教学情境的创设，培养学生的思维能力；开发、挖掘例题、习题资源，对学生进行数学思想和方法的渗透等几方面来阐述高等数学教师应如何有效地使用教材。

关键词： 高等数学；有效使用；教材

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的学科。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式”有了越来越丰富的内涵和更加广泛的外延。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式； 不仅是一种知识，而且是一种素养； 不仅是一门科学，而且是一种文化。数学教育在培养高素质科技人才中具有其独特的、不可替代的作用。对于高等学校的本科生而言，高等数学课程是一门非常重要的基础课，它内容丰富，理论严谨，应用广泛，影响深远。不仅为学习后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，而且在培养学生抽象思维、逻辑推理能力，综合利用所学知识分析问题解决问题的能力，较强的自主学习的能力，创新意识和创新能力上都具有非常重要的作用。因此教师深刻理解教材，如何有效使用教材，用活教材是教学工作中一项重要的内容。

同济大学《高等数学》上册共有七章，包括极限，导数，积分，微分方程四大块内容。每一章中不仅有定义、性质和定理的学习，又有巩固知识、形成能力的例题和习题，更有培养学生空间想象能力，逻辑推理能力和抽象概括能力的大量资源。对这些内容的学习，本人认为应该做到以下几点。

一、领悟教材编写意图，把握章节内容结构

案例1：为什么把极限放在第一章？

首先极限的产生和发展历史悠久，正是有了极限的概念，数学才从有限升华到无限。战国时代哲学家庄周所著的《庄子-天下篇》有一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。其含义是：一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完，也就是说这个过程可以无限地进行下去。随后，三国时期的数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积。设有一圆，作圆的内接6×2n-1正边形，其面积记为An，当n越大，An作为圆面积的近似值也越精确。当边数无限增加的时候，An也无限地接近于某一确定的数值，这个确定的数值就是一个极限值。

极限给“无穷逼近”的思想一个严格的数学定义，没有这个基础，以后的微分、积分可以说是不可信的，不牢靠的。在牛顿和莱布尼兹发明微积分时就受到过各种责难，其中影响最大的就是对“无穷小”的定义。由于当时还没有对极限的准确定义，所以人们对这门学科实际上是持怀疑态度的，也就是认为虽然微积分可以当作一个工具使用来解决某些问题，但它未必就是正确的。直到极限的准确定义出现后，微积分才成为真正意义上的科学。

其次极限是高等数学中非常重要的一章，是整个学科的理论基础。此概念贯穿整个高等数学始末，导数、定积分、偏导数、多元函数积分、级数等概念都是用极限来定义的。以定积分的定义为例，设函数f（x）在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间 ，其中 。可知各区间长度依次是：

，在每个子区间[xi-1，xi]中取一点 ，作和式 。该和式叫做积分和，设 （即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫函数f（x）在区间[a，b]的定积分，记为 ，并称函数f（x）在区间[a，b]上可积。[1]从此定义中可以看出定积分与极限之间的关系是很紧密的，可以用定积分来解决很多极限问题。

只有理解了教材的编写意图，把握了章节内容结构，才能更进一步利用教材，才能更好地把知识传授给学生。

二、注重教学情境的创设，培养学生的思维能力

在课堂教学中我们要善于创设教学环境，将学生的注意力引导到最佳的思维状态。比如通过设疑让学生经过思考、分析、比较来加深对知识的理解；通过加强思维训练，让学生掌握科学的思维方法。

案例2：第五章第一节定积分概念的引入

定积分的概念是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛，它上乘极限的运算、导数、不定积分，下接定积分的性质、计算，以及定积分在几何、物理、经济等其它学科中的应用。

首先给出引例1、求曲边梯形的面积。告知学生曲边梯形的定义后，抛出问题：如何求曲边梯形的面积？引导学生把要解决的问题转化为已学过的问题，要计算的是曲边梯形的面积，而学过的是规则几何图形的面积。设置问题：怎样把曲边梯形转化为规则图形呢？得出思路：曲边梯形分割成若干小曲边梯形，再把每个小曲边梯形看成小矩形。再次抛出问题：小矩形面积加起来和曲边梯形面积相等吗？最后得出求面积的四个步骤：分割，近似，求和，取极限，即 。

接着给出引例2、求变速直线运动的路程。

设置问题：和引例1的解题思路一样吗？得出求变速直线运动的路程步骤：分割，近似，求和，取极限。先让学生独立思考，再分小组讨论、交流，总结出类似的问题都可以通过这种方法来解决，得出 。

最后把问题迁移，设置问题：能不能将在区间[a，b]上连续函数f（x）的问题归结为这种类型的和式的极限？从而引出定积分的定义： 。

在提问题时要抓住教材的重点、难点和关键，问题的内容应潜伏着教材内容的内在联系和符合知识积累的逻辑顺序，一环扣一环，由浅入深，由简单到复杂，叩开学生思维的大门，使学生感到新颖，造成连续的思索，形成持久的内驱力，引起学生思想上的共鸣，活跃课堂气氛，有效地调动每个学生的思维积极性，这样可收到预想不到的效果。

在课堂教学过程中，教师还需要把发散性思维和收敛性思维辨正地统一起来。运用发散性思维，从一个目标出发，启发引导学生在已有知识的基础上，利用全部信息，进行放射性，多方位发散，多方位论证，多因素分析。例如，高数计算题的一题多解，就有利于培养学生的发散思维，爆发出创造思维的火花。但发散性若没有收敛性思维作补充，容易发散无边，变成幻想空想瞎想。因此，当学生的思维发散到一定程度，就要适当收敛。例如，学生对同一题进行多种计算后，教师要启发、引导学生对这些计算方法进行比较和可行性检验，从而寻求较好的计算方法，从而优化学生的思维品质。

三、开发、挖掘例题、习题资源，对学生进行数学思想和方法的渗透

同济版教材中的例题和习题都是经过专家反复甄选而配置的，把例题和习题仔细分析讲解给学生听，可以让学生立即体会到刚刚学习的知识点在实际中的应用价值，从而激发或强化学生学习该知识点的热情与兴趣；可以帮助学生及时巩固和记忆该知识点的内容；可以让学生见识该知识点在实际题目中的应用类型，以及该知识点和其它知识点的联系方式，从而帮助学生拓展眼界，并为以后解决该类型问题提供示范和模板。同时，在讲解题目时，渗透着分析问题的基本方法和思路，以及解答和表述问题的规范格式。

案例3：教材P271第4题，求极限

看上去这是一道求极限的题，有些学生可能会想到一些求极限的方法，比如：等价无穷小替换，两个重要极限，洛必达法则，夹逼原理，单调有界原理……实质上这是一道利用定积分的定义来求n项和数列极限的题，就是用连续来研究间断的一种典型方法。

随着数学的发展，对函数连续与间断的认识也在深化，在一定条件下，实现了连续与间断的相互转化。

案例4： 教材P217例6

数学中的转化比比皆是，如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。

设 ，于是

最后再把u换回x，得

这是一个典型的应用换元进行转化的题目，为了去掉根号，把整个根号令为u。

我们教师要有从教材中跳出来并反过来驾驭教材的能力，还要有全面了解学生学习过程的能力。对于如何使用教材，不少教育工作者都在探讨，如[2]，[3]，[4]等文献，总之，如何更有效的用好教材，用活教材是我们一直要探讨的问题。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.226-227.

[2]王自华. 大学文科“高等数学”教学改革初探——兼论文科高等数学教材建设[J]. 高等理科教育， 2003（2）：72-76.

[3]董薇薇， 李億江. 教师创造性使用教材存在的问题及分析[J]. 中国数学教育， 2011（5）：6-9.

[4]王兴国. 高等数学教学中如何合理使用教材—从“微积分基本公式”一节的教材使用谈起[J]. 贵阳学院学报（自然科学版）， 2009， 4（2）：78-80.