平面向量夹角问题的易错剖析

李鹏

通过向量的数量积及其相关运算探究两个向量的夹角问题，考生常常因为概念不清、考虑问题不全面等原因而导致错误.现就此类问题在解题中常见的易错点剖析如下.

1.向量夹角的概念不清

教材上對向量夹角是这么定义的：对于两个非零向量a和b，作OA =a，OB =b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a和b的夹角（图1）.

例1 在△ABC中，AB =a， BC =b，有a·b<0，则△ABC的形状是_____ .（填写正确的序号）①钝角三角形；②直角三角形；③锐角三角形；④不能确定.

错解 由已知条件可得a·b=|a|.|b|.cos∠ABC<0，即cos ∠ABC<0，所以∠ABC为钝角，故选择①.

剖析 在本题中，向量a，b的夹角并不是∠ABC，因为它们并没有从同一个起点出发.我们可以通过平移让两个向量的起点重合（图2），不难发现它们的夹角其实是∠ABC的补角.

正解 由已知条件可得a·b=|a|.|b|cos（π-∠ABC）0，所以∠ABC为锐角，但这并不能判断三角形的形状，所以答案应该是④.