数学思维：数学核心素养生成之根

☉江苏省白蒲高级中学 秦国清

数学核心素养是学生经历数学化活动而习得的数学思维方式，进而发展为所必需的关键能力，内化为数学品格，帮助养成健全人格.数学学科核心素养的形成与发展是学生理解数学知识并掌握数学本质的现实价值所在.它表现为学生在忘掉所学数学知识的情况下，仍然可以从数学的角度，通过头脑中印刻的数学思维与理性精神有条理地观察、分析、论证并解决各种问题.

数学学科特有的理解问题和分析问题的思维方式，是让学习者深入思考问题时所需要的一种能力.数学思维是学生数学核心素养的重要组成部分，也是数学教学的根.从思维层面上构建数学学科核心素养体系的系统性、完整性和丰富性，并通过课程实施将其转化为学生的内在品质.

一、关注概念教学，培养学生的数学思维能力

章建跃博士认为，突显数学思维，这是教学智慧的高度体现.而数学概念是反映数学对象本质属性的一种数学思维形式，是数学知识的生长点，是导出数学定理、法则的基础，它蕴含数学思想和方法.反映了探索自然现象和研究数学问题的科学规律.因此，关注概念教学，才能从根本上培养学生的数学思维能力.

1.体验数学概念的“生成过程”，开启学生“数学思维”

学生的数学思维发展遵循从具体形象思维到经验型抽象思维，再到理论型抽象思维，最后到辩证思维的过程.如在讲解函数的单调性时，由函数图像的上升（下降）的趋势，到y随x的增大而增大（减小）的语言描述，再到函数在某区间单调增（减）的严格提出.特别是函数单调性的定义证明，它是中学阶段第一次用动态的有限（的点）来刻画无限（的点）的变化趋势.教学时重点要放在对概念的发生、发展过程的解析上，南师大陶维林老师在讲授函数的单调性时，注重学生思维参与和感悟，能直达思维的关键处；直击矛盾的冲突处；直通逻辑建构的抽象处.课堂深刻精彩，给我震撼！笔者对概念教学的深入研究由此开始.

数学概念教学要着眼于数学核心素养的养成，培养学生数学思维能力.包括对概念的抽象、辨析和运用过程.如新授二项式定理和排列组合数公式时，由问题情境开始，让学生亲历数学运算、数据分析，到直观想象、数学抽象，再到逻辑推理、多元表征，最后数学建模、应用巩固.使学生感受到数学求真求美的思维过程.在二项式定理的教学中要加强思想方法的引导，抓住“展开式中的项是如何产生的？”这一核心问题.“谁出？怎么出？出几个？”

教师科学提问，学生经历过程，充分挖掘出数学概念蕴含的思维教育价值.

2.弄清数学概念间的“整体联系”，学会数学思维方式

概念教学设计始终要关注数学思维的过程与方式，让学生学会多种思维方式：发散思维、因果思维、类比思维、系统化思维等，培育学生的理性精神.

抓住数学概念体系的形成过程的层次性，循序渐进、渗透提高.譬如指数和对数，教材意图明显，希望把对数问题化归为指数问题，借助指数幂的运算性质，导出对数的运算性质.如研究向量运算，可以帮助学生回忆，运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索.从数到字母，是运算的一次跳跃，到向量运算又是一次跳跃；从而加深和拓展了学生对数学运算的理解，让其体会到数学运算在建构数学系统中的作用.这样的过程是自然的、水到渠成的，学生在概念的形成过程中容易实现思维飞跃.

二、做好解题研究，提升学生的数学思维品质

数学本质上就是帮助训练学生思维的，其重要价值就是帮助学生思考问题，拓展学生的“思维空间”.因此在教学中，应立足于学生的数学思维训练，提升学生的数学思维品质，培养学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的综合素养.

1.在解题中培养学生数学思维的“独立性”

将“第一时间”还给学生，让其在独立思考中发展思维的独立性.赋予学生更多的参与学习的机会和权利，让每一个学生在第一时间不被其他学生的思维干扰，自主独立思考完成题目给出的问题，在此基础上，鼓励学生积极思考，多思善问，提出不同看法，即便是繁难的，甚至错误的方法，那也是一个比较好的“经验”，教师要善于从学生“错解”中提炼合理的成分加以肯定，适时地表扬和鼓励，让学生在鼓励中不断调整思维方向.

要给他们充分的时间和机会表达、反思，辨析和体会，让学生养成自动矫正、调节自己的学习行为的能力.努力给学生的感知、存疑、尝试、自悟以充分的时空，给学生提供独立学习的机会，使学生的学习始终处于一种有准备的状态，更容易进入“自主学习”的境界.从而真正实现“轻负高质”，培养自觉、自主、自立的学习者，为学生的终身学习打下坚实基础.

2.在解题中培养学生数学思维的“流畅性”

孙旭东老师强调，解题时学生想明白，写清楚即可.写清楚是能规范表达；想明白是有数学思维.解题要从审题，看清题意开始，从目标（结论）和已知条件两个方面入手.

例1（2013年江苏高考第13题）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x>0）图像上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有取值为______.

本题是距离最值问题，可通过建立目标函数，然后对目标函数进行分析，注意换元后自变量取值范围和对二次函数分类讨论.

学生解析如下：

教师：你是怎么做到一步一步流畅解答的？

学生：我觉得解题开头很重要，我是根据条件，写出由此能得到的相应结论，一步一步摸索向前，并运用整体换元、计算转化，最终得到正确结论.通俗点讲就是要体会老师常说的解题思维三步骤：“写出来看看；目标（结论）是什么；条件怎么用？”

老师：我们在解题时往往有“一眼看不到底”的经历，即不能从开始到结束都能有明确的思路.不少同学遇到问题时首先看是否做过或有没有明确的思路，一旦不是熟悉的问题，就不自信，不能冷静分析，错失良机.这时我们有什么想法就不妨写出来，写出来与写不出来都要去看看解题目标.当然也可从已知条件出发，看看能得到哪些结论，只有这样解题思路才会变得流畅.

3.在解题中培养学生数学思维的“深刻性”

从数学教育角度看，解题的思维过程是最有价值的，它可以看出学生思维的特征.教者要立足于教学实际，对学生的真实思维活动进行深入的分析，让每一位学生主动地对原有知识和经验进行回忆和识别，积极参与到课堂中来.发挥思维方法的威力，培养学生数学思维的“深刻性”.

例2 如图1，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆=1的左右焦点，过右焦点F

图1

2的直线l与椭圆交于A，C两点，记△ABF2，△BCF2的面积分别为S1，S2.若S1=2S2，求直线l的斜率.

本题中，把面积比转化为线段的长度比，可用弦长公式；圆锥曲线的统一定义；参数方程；极坐标方程求解.另外还可从平面几何和向量的角度，将线段的长度比转化为坐标关系，求点解决.以上这一类是解析几何中的热点问题，由计算开始，开启学生的数学思维活动，发散拓展，归纳提升.师生共同探究出解析几何中的长度差（和）、长度比问题应该分别应用什么方法解决.教师引导学生可直接从问题表征字面理解出发解决问题；也可对问题表征进行深层理解，增强理解问题的深度，实现思维架桥，视通万里；也可内涵深入，鞭辟入里，重新表征问题，实现解题迁移，提升解题境界，升华数学思维品质.

4.在解题中培养学生数学思维的“辩证性”

在解题中培养学生数学思维的“辩证性”，主要训练学生看问题要客观全面，不要绝对.研究“对立的”或者“关联的”数学问题，学会解题前的预判和解题中的调整，培养学生的思辩能力.

另外三角中“配角”与“拆角”也是一对辩证关系，“配角”是用已知角来表示未知角；“拆角”是用方程（组）来解题.2012江苏高考数学第15题的第（2）问更是将“切化弦”和“弦化切”的方法选择演绎的灵动、深刻.

因此，教学时，要提高学生的辩证思维能力，全面地、系统地、联系地分析问题与解决问题，在矛盾双方对立统一的过程中把握其发展规律，克服极端化、片面化.

5.在解题中培养学生数学思维的“创造性”

习近平总书记指出：“唯创新者进，唯创新者强，唯创新者胜.”在解题中培养学生数学思维的“创造性”，就是要善于因时制宜、知难而进、开拓创新.

例3（2008年江苏高考第14题）设函数f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若对于任意的x∈［-1，1］都有f（x）≥0成立，则实数a的值为______.

本小题考查了函数单调性、不等式恒成立及导数的有关知识，体现了分类讨论的数学思想.答案提供了两种方法，一是求导正面分类讨论；二是参变分离再分类讨论.不论那种方法过程都较繁杂！考虑到它是填空题，把表达式一分为二，一边是三次函数，一边是一次函数，画图、利用切线的知识，数形结合，又快又好！最妙的是也可先根据x∈［-1，1］，将x=1和x=-1代入，限制a的范围，再具体分析，避免了过多的讨论，很快解决问题.严格的推理过程强调由一般到特殊，有时调整一下顺序，由特殊到一般，就会产生意想不到的惊喜！正所谓：“世间万物，变动不居，明者因时而变，知者随事而制”.