差之毫厘 谬以千里*

广东省珠海市第一中学(519000) 王生双

在文[1]中提到两道姐妹题：

1)设a＞1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=3,这时a的取值集合为()

2)设a＞1,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=c,这时,a的取值的集合为___.

这两题“貌似”一样,唯一的区别就是1)题中方程中的3换成了c,并且c是唯一的,那么我们来看一下这两个题目的解题过程的差别：

1)方程logax+logay=3可化为此函数在[a,2a]上单调递减,所以,由解得a≥2,故选B.

2)同样我们将方程logax+logay=c进行转化可得,由于c是唯一的,所以我们的y的范围是准确的,即y∈[a,a2]就是值域了.由于此函数在[a,2a]上单调递减,所以并且有a2⇒a=2,故答案为{2}.

由这两道题的分析,我们可以看出,有些题目从表面上看起来似乎一样,可是仔细分析却得到不一样的答案.在平时的练习和考试中也有很多这样“看似差不多”的题目,但往往结果相差很大,甚至做题思路完全不一样,笔者就此问题给出一些实例：

1、集合的代表元不同

1)设集合A={y|y=x2-3x+2,x∈R},B={y|y=-2x2-x+1,x∈R},求A∩B.

2)设集合A={(x,y)|y=x2-3x+2,x∈R},B={(x,y)|y=-2x2-x+1,x∈R},求A∩B.

在这两道题中,由于代表元不同,思路也不一样.首先看1)中,代表元为y,所以故.而2)中,代表元为点的坐标,由于两条抛物线无交点,故A∩B=∅.

2、定义域和值域的不同

1)已知函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的定义域为R,则实数a的取值范围是___.

2)已知函数f(x)=lg(ax2+ax+1)的值域为R,则实数a的取值范围是____.

1)定义域是使函数有意义,故ax2+ax+1＞0恒成立,即因此0＜a＜4.

2)要求值域是R,故u=ax2+ax+1中的u要取完所有的正数,故{u|u＞0}是u=ax2+ax+1的值域的子集,当a≤0时显然不符合题意,故得,a≥4.

3、恒成立与存在的不同

1)已知二次函数f(x)=4x2-2(p-1)x-2p2-p-1,若在区间[-1,1]上存在c使得f(c)＞0,则p的取值范围是___.

2)已知二次函数f(x)=4x2-2(p-1)x-2p2-p-1,若对于任意的c∈[-1,1]都有f(c)＞0,则p的取值范围是___.

第1)小题讨论的是一个存在的问题,存在c使得f(c)＞0,只需让f(x)在区间[-1,1]上的最大值f(x)max＞0即可;对于第2)小题,要使对于任意的c∈[-1,1]都有f(c)＞0,就必须让其最小值f(x)min＞0.具体结果如下：

1)由于二次函数f(x)=4x2-2(p-1)x-2p2-p-1的图像是一个开口向上的抛物线,故最大值一定在x=1或x=-1处取得,故f(1)=4-2(p-1)-2p2-p-1＞0或f(-1)=4+2(p-1)-2p2-p-1＞0,解之得,.

2)二次函数f(x)= 4x2-2(p-1)x-2p2-p-1的图像是一个开口向上的抛物线,考虑对称轴,故有或解之得,p的取值范围为∅.

4、主元的不同

1)设关于x的不等式a2-ax+x+1＞0的解集为A,若[0,1]⊆A,求实数a的取值范围.

2)设关于a的不等式a2-ax+x+1＞0的解集为A,若[0,1]⊆A,求实数x的取值范围.

在第1)小题中,题意等价于：已知x∈[0,1]时,不等式(1-a)x+a2+1＞0恒成立,求实数a的取值范围.令f(x)=(1-a)x+a2+1,其图像是一条直线,要使x∈[0,1]时f(x)＞0恒成立,只需所以实数a的取值范围是R.

在第2)小题中,题设可转化为不等式a2+1＞x(a-1)在a∈[0,1]时恒成立.当a=1时不等式肯定成立;当a∈[0,1)时,应有恒成立.令a∈[0,1),只需x＞g(a)max,易知2在a∈[0,1)内递减,因而a=0时,g(a)max=g(0)=-1,从而实数x的取值范围为(-1,+∞).

5、几何概型的貌合神离

1)在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.2)在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C作一条射线CM,与线段AB交于M点,求AM小于AC的概率.

图1

这是两道几何概型的题目,由于“着眼点”不同使它们有不同的结果.第1)小题中,M点在AB上取,所以只需以点A为圆心,AC为半径作一个圆弧与AB交于点C′,不妨设AC=a,则,从而所求的概率为.

第2)题,以点A为圆心,AC为半径作一个圆弧与AB交于点C′,连接CC′,则,从而所求的概率为.

这两个小题有所不同是因为第1)题应看作M在AB上时等可能分布的,而第2)题应看作射线CM在∠ACB内是等可能分布的.

6、有序与无序的不同

1)六本不同的书,分为三组,每组两本,有多少种分法?

2)六本不同的书,分给三个人,每人两本,有多少种分法?

第1)个问题,就是一个平均分组的问题;但是由于第二个问题中分给三个人,这时的组合问题就变成了排列问题,这就是它们的区别所在.对于第1)小题,由于不需要顺序,所以分组数是C26C24C22=90(种),这90种分组实际上重复了6次.我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码,考察以下两种分法：(1,2)(3,4)(5,6)与(3,4)(1,2)(5,6),由于书是均匀分组的,三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分法.以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数,所以分法是.第2)小题中,有了人就有了顺序,故需要在1)的基础上进行排列,即：种.

7、过与在的不同

1)中在点P处的切线,P一定是切点.我们可以求出点P处的导数作为斜率即可.而2)中要求过点P,切点也可能不是点P.具体解答如下：

1)f′(2)=4,故切线方程为y=4x-4.

2)设切点为(x0,y0),则切线方程为,该直线经过点P(2,4),所以x20(2-x0)即x0=-1或x0=2,所以切线方程为y=4x-4或y=x+2.

许多题目看起来相似,实质却不同,正所谓“差之毫厘,谬以千里”,这就要求我们在做题的过程中认真审题,仔细分析,将类似题目一一击破,把这些题目放到一起进行辨析,更是会起到事半功倍的效果.