对函数f(x)=ax+bx+cx单调性的探究及其应用

安徽省岳西中学(246600) 储百六

笔者最近在数学通报2016年第2期上看到如下问题：

问题1(数学通报2285号问题)设a,b,c＞0且abc＞1,证明：函数f(x)=ax+bx+cx在[0,+∞)上为增函数.

原解答中采用作差比较的方法证明,非常巧妙,不易想到.现在高中已有微积分的知识,用导数判断函数单调性已经是常用方法,下面笔者先将其推广,再通过举例谈谈它的简单应用.

一、问题的推广

二、命题的简单应用

例1设a,b为实数且a+b=1,求证：对任意正整数n,

此题为2009年清华大学自主招生试题.文[2-4]中都给出了的证明方法,下面我用命题3给出它的另一证明,然后对其推广

证明(1)若a,b有一个为负数或0时,结论显然成立.

(2)当a,b均为正数但不相等时,,构造函数f(x)=(2a)x+(2b)x,由命题3得函数f(x)在[1,+∞)上为增函数.所以f(2n)＞f(1)=2,即(2a)2n+(2b)2n＞2,于是.

按此法该命题可轻松推广为：