特殊条件下矩阵特征值判定问题的讨论

摘 要：本文针对学生在《高等代数》课程学习过程中遇到的一类问题，即利用矩阵多项式为零去判定矩阵的特征值和特征值的重数问题。首先利用已有的一些定理给出了特殊情形下的一个结论，然后利用三个逐渐增加条件的例子说明在判定过程中需要我们合理结合题目给出的每一个条件利用所学知识进行解决。

关键词：特征值；特征向量；矩阵

在《高等代数》课程的教学过程中，遇到了很多利用矩阵多项式为零的条件去推断矩阵特征值的问题，看上去类似的题目确有不同的结果。学生经常无法分辨多项式的若干根中哪些是矩阵的特征值哪些不是，以及在确定了特征值之后如何确定其重数。本文将针对这一问题给出自己的一些想法。首先我们给出一些已有的结论。

定理1 设A是n阶方阵，λ是A的特征值，α是A属于特征值λ的一个特征向量，f（x）是一个多项式，则f（λ）是f（A）的特征值。

定理2 相似矩阵具有相同的特征值多项式。

定理3 实对称矩阵的k重特征值恰好有k个线性无关的特征向量。

由定理1可得下面推论：

推论 设A是n阶方阵，λ是A的特征值，α是A属于特征值λ的一个特征向量，f（x）是一个多项式，若f（A）=O，则f（λ）=0。

由上述推論得到下面非常重要的结论：

结论1 对于n阶方阵A而言，如果f（A）=O，那么A的所有特征值一定是多项式f（x）的根。

此结论告诉我们矩阵的特征值一定为多项式的根，但没有告诉我们哪些根是矩阵的特征值，而这一点正是令很多同学困惑的地方。针对这类问题我们利用具体例子来解释。

例1 设方阵A满足A2=A，证明A的特征值只能是1或0。

分析 这道题目的答案是结论的直接结果，但无法确定A的具体特征值是1还是0。

例2 若矩阵A满足A2=O，则A的特征值为0。

分析 由于方程x2=0只有唯一的实根0，而A的特征值一定是该方程的根，所以得到A的特征值为0。

由例2结合结论1，可以得到下面的结论：

结论2 对于满足f（A）=O的n阶方阵A而言，如果多项式f（x）有唯一的根，则此根必为矩阵的唯一特征值。

结论2解决了一种简单情况，也就是当f（A）=O，多项式f（x）有唯一根的情况。但绝大多数的题目都比例2要复杂。下面我们再看其他一些情况。

例3 设A为3阶非零矩阵，且满足A2=A，证明：1一定为A的特征值。

解 由结论1可得，A的特征值为0或1。变形A2=A，得A（A-E）=O。由于R（A）+R（A-E）≤3，且A为非零矩阵，即R（A）≥1，于是R（A-E）≤2，从而|A-E|=0，得1一定为A的特征值。而0是否为A的特征值无法确定。

例4 设A是3阶实矩阵，且R（A）=2，若A2=A，证明：0和1均为A的特征值，并判定其重数。

解 由结论1可得，A的特征值为0或1。由已知条件R（A）=2，再结合例3解题过程得|A|=0，且R（A-E）≤1，也即|A-E|=0，从而得到0和1均为A的特征值，且为A的所有特征值。由于A为3阶方阵，所以0和1中有一个特征值为二重特征值。下面我们来确定哪个特征值为二重特征值。如果R（A-E）=0，则A=E，与R（A）=2矛盾，因此R（A-E）=1。这说明矩阵A对应于特征值1有两个无关的特征向量，从而A可以对角化。由定理2得1为A的二重特征值。

例5 设A是3阶实对称矩阵，R（A）=2，若A2=A，证明：0和1均为A的特征值，并判定其重数。

解 由例4的证明过程得到0和1均为A的特征值，且为A的所有特征值。在判定哪个特征值为A的二重特征值时，可利用定理3得到1为二重特征值。

通过例1，3，4，5个例子的条件，我们可以看到题目给定条件越来越多，从判定结果来看，判定效果越来越好，所用知识越来越多。比较例1和例3，我们发现适当增加条件会影响特征值的确定；比较例3和例4可以看出，特征矩阵的秩在确定具体特征值和特征值的重数时会起到关键作用；比较例4和例5，我们看到实对称矩阵相对于一般的实矩阵，在判定特征值的重数时会比较方便，主要原因是实对称矩阵的性质比较好。综上，对于本文要讨论的问题，没有统一的格式去判定每道题目的答案，具体问题具体对待。对于学生而言，如果想清晰利用f（A）=O来确定矩阵A的特征值及其重数，就要结合题目给的具体条件逐条检查是否可以缩小判定的范围，而这些有一个基本要求就是具有比较扎实的学习基础，对于所学的知识能够灵活运用。

参考文献：

[1]刘丽.高等代数[M].成都：西南财经大学出版社，2014.

[2]蒋永泉.高等代数[M].镇江：江苏大学出版社，2013.

[3]白凤兰.高等代数[M].北京：清华大学出版社，2012.

作者简介：

刘红丽，浙江省杭州市，浙江财经大学数据科学学院。