具有随机路径自动导引小车且多车道嵌套的制造系统排队网建模与分析

廖 勇，陈庆新，毛 宁，李 翔,2+，俞爱林

(1.广东工业大学 广东省计算机集成制造系统重点实验室，广东 广州 510006； 2.湖南省湘南学院 电子信息与电气工程学院，湖南 郴州 423000)

0 引言

随着信息技术的发展与物联网的普及，定制型装备制造业生产系统的布局方式从机群式布局向由多个柔性制造单元组成的生产系统演变，传统物流搬运系统很难满足制造过程中的工艺资源需求。因此由自动导引小车(Automatic Guided Vehicle, AGV)运输单元耦合多个制造单元的随机生产系统，成为定制型装备制造业的典型生产系统结构。确保该类生产系统高效运行的必要条件是优化配置制造资源，因此需借助系统模型对制造资源进行合理配置。这类生产系统有以下特点：①具有高度的随机不确定，如生产订单的到达过程、工序加工工时的变化、设备故障、在制品运输时间和等待加工时间的变化等;②AGV具有状态相关运行路径，小车运输路径往往会变化，取决于AGV当时的状态、以及前后制造单元缓冲区的容量，对于不同的运输路径，运输时间服从不同的概率分布;③制造单元的在制品输入、输出速率与AGV运输能力彼此关联，有限的缓存区容量使在制品的运输时间与AGV在各制造单元前等待的时间密切相关。因此在建立描述系统特征模型时，必须将这些特点纳入建模过程。

作为有效的建模与分析工具，排队网在制造系统、通讯系统和计算系统领域中有着广泛的应用。通过定义生产系统的状态并求稳态情况下状态发生的概率，排队网模型能够很好地描述随机生产系统的行为[1]。在制造系统早期应用中，Papadopoulos等[2]给出了全面综述，按照系统在制品数量是否确定，可以将排队网分为开排队网、闭排队网和混合排队网。国外学者对排队网模型建模与分析有大量研究;Smith[3]利用M/G/c/c状态相关排队网模型对物料运输系统进行建模与分析，求解结果表明该方法具有很好的鲁棒性;Smith[4]针对有限Buffer的M/G/c/K排队网系统性能分析问题，提出一种有效的两阶段方法计算状态的稳态概率，并通过稳态概率确定制造系统Buffer容量，对比分析表明该方法的有效性;Smith[5]采用状态相关的排队网模型描述物料储运系统，分析了资源配置因素对系统性能指标的影响;Cruz等[6]提出一种近似分析状态相关排队网模型的方法,建立了相应的离散时间数学仿真系统，用于状态相关的排队网的方法[7]。

目前尚未见到针对含有状态相关且具有随机路径的开排队网系统分析研究。国内不少学者研究排队网模型建模与分析，张于贤等[8]针对无限缓存区容量排队网的建模方法，建立了生产线的开排队网模型，给出系统各种运行指标的计算方法;张继文[9]针对露天矿电铲—汽车—破碎站这类半连续工艺系统，建立了混合排队网模型，通过模拟方法求出这一系统在不同配置情形下的运行特性参数;许宇宁等[10]针对运输数量是变量的柔性流水车间，建立了状态相关且为批量服务的排队网模型，验证了利用状态空间法近似求解的有效性;席少辉等[11]对同时包含装配单元及物料储运环节的定制型装备制造系统，建立了装配工序同时性约束的有限开排队网模型;陈冠中等[12]考虑AGV运输路径变化的情况，建立了随机路径单AGV制造系统排队网模型，利用随机过程理论证明了该模型具有Markov性，将排队网模型扩展到具有随机物流路径的生产系统。回顾以上文献，尚未发现对具有随机路径AGV且多车道嵌套制造系统的建模分析。

由于本文生产系统中的在制品数量是一个随机变量且存在上限，需要采用有限缓存开排队网模型。这类排队网的最大特点在于，有限的缓存会导致设备阻塞与死锁情况发生，使有限缓存开排队网模型不具有乘积形式解(product-form solution)[12]。对于有限开排队网近似求解，文献[13]提出一种基于Markov过程的状态空间分解法(Decomposition of State Space Method, DSSM)的近似方法建立系统的性能分析模型，即且通过对比仿真结果验证了该方法近似结果的精确性和有效性，该方法能够近似求解中等规模的有限缓冲区容量开排队网模型。本文涉及的AGV运行路径具有一定的Markov随机性，无法通过一个简单的路径概率来描述，其与自身状态和前后制造单元在制品数量相关，传统的状态空间分解法建立的排队网模型无法描述这类AGV随机路径问题，必须加以扩展。

因此，针对具有随机路径AGV且多车道嵌套制造系统，建立有限缓冲区容量的开排队网模型，扩展传统状态空间法，使其能有效描述AGV与前后制造单元的关联耦合效应，并通过扩展的状态空间法近似求得各状态的稳态概率，得到系统的性能指标值。通过对比仿真模型统计结果，验证利用状态空间法建立具有随机路径AGV且多车道嵌套制造系统排队网模型的有效性。

1 制造系统描述

某定制型装备智能制造车间按照如图1所示的布局方式进行生产，该制造系统物料储运AGV为单向行驶，其运行路径拓扑结构为单向多重环形的封闭路径网络，相比于双向导向路径网络，该结构具有价格较低、AGV死锁和阻塞的概率低等特点，易于AGV系统的后期调度与控制。该车间主要对轮胎模具的花纹块进行精加工，两个加工中心组成相应的制造单元，且每个加工中心的加工能力相同。AGV完成生产过程的运料运输任务，每一条通道同一时刻只能被一辆AGV占用，避免了AGV的碰撞和死锁。首先，工件进入车间放置于毛坯仓库；然后，AGV小车从毛坯区将工件运往加工中心前的待加工区，将加工中心加工完的工件放置于待转运区；最后，AGV将完工的工件从待转运区运往成品仓库。在整个生产过程中，AGV小车一直处于移动状态，且小车运行的路径不固定，其路径的选择主要与两个加工中心前后的待加工区、待转运区工件的个数及自身状态相关。为了保证整个车间的物流平衡，使加工中心既不会因为没有工件加工而处于空闲状态，也不会因为待转运区工件满载而使设备处于阻塞状态。因此，AGV将毛坯区的工件运往工件数少的待加工区，再去工件数多的待转运区装载工件运往成品区。

将图1所示的具有随机并行AGV的制造车间简化为图2所示制造系统模型。利用排队理论，将排队网模型划分为4个节点，其中毛坯区和成品区组成系统第1个节点，多辆AGV组成系统第2个节点，两个加工中和其对应的待加工区组成系统第3个节点，两个加工中心的待转运区组成系统第4个节点，工件从毛坯区B0进入系统，从成品区离开制造系统。

根据企业的实际生产情况，对制造车间进行简化与近似，假设开排队网模型满足以下条件：

(1)进入毛坯区的工件，按照到达强度为λ0的泊松分布到达。

(2)工件在车间生产过程中相互独立。

(3)每个加工中心当量处理成一台设备，每台设备同时只能加工一个工件；两个加工中心的加工时间(包括装夹时间、准备时间)为独立同分布的负指数分布，其加工速率为μ1,μ2，完工工件流入B12、B22缓存区，且完工工件满足后阻塞机制。

(4)工件的服务原则为先到先服务(First In First Out，FIFO)。

(5)毛坯区B0、待加工区(B11,B21)、待转运区(B12,B22)为有限容量存放区，设其最大容量分别为N0,N11,N21,N21,N22；为避免阻塞AGV卸载工件，成品存放区为无限容量。

(6)当外部工件到达B0处时，如果B0处还有容量，则工件进入车间等待加工；否则，拒绝进入B0的等待服务队列。

(7)考虑AGV在B0处等待装载工件的情况，为确保整个运行周期内车间物流平衡，AGV给B11、B21中工件少的待加工区运送工件。当AGV完成卸载任务后，将选择去B21、B21中工件数多的待转运区装载工件，并运回成品仓。

(8)在整个生产周期内，AGV选择不同的运行路径，具有不同的运输速率；从B0运载工件前往B11，经过B12返回成品存放区卸载，其整个运输过程的速率为V1；从B0运载工件前往B11，经过B22返回成品存放区卸载，运载阶段为V1，返回卸载阶段速率为V3；从B0处卸载工件前往B21，经过B22或B12返回成品区卸载，其整个运输过程的速率为V2。

(9)AGV每次运输工件的个数为1，不计AGV在运输过程中的装载和卸载时间。

2 排队网模型的性能分析

2.1 扩展的状态空间分解法

作为有限缓冲区容量开排队网模型的近似求解算法，传统的状态空间分解法基于连续时间马尔科夫链(Continue Time Markov Chain, CTMC)理论。首先，为每个工作中心建立自身的状态空间;然后，通过工件的工艺路线将前后工作中心所处的不同状态关联起来，采用当前节点的有效输出速率为下节点的输入速率，描述节点状态的转移速率;最后，联立所有状态的平衡方程，求得各个状态的稳态概率，从而求得系统的性能指标[14]。

文献[12]对含有随机路径AGV的制造系统建立排队网模型描述其系统行为，同时验证模型具有Markov性，因此本文对具有随机路径同等并行AGV制造系统，建立的排队网模型可参照文献[12]验证其满足Markev性。本文AGV运输路径具有一定的Markov随机性，与自身状态、前后制造单元的缓存区在制品彼此关联，在制品的运输时间与其在制造单元前的等待时间密切相关。传统的状态空间分解法建立的状态空间只与自身状态相关，不能用于建立AGV和前后制造单元节点间的耦合关系，也不能用于描述AGV状态相关运行路径。因此需要扩展传统的状态空间分解法，扩展各节点的状态空间，使节点状态能够描述AGV的运行规律。一方面，扩展其他非AGV单元的状态空间，以图2中的节点1为例，其状态由B0自身状态和多辆AGV的运行状态组成，状态空间包括AGV在B0处等待和从B0处状态工件前往后制造单元等几类，通过建立状态之间的转移关系来表达B0与AGV之间的耦合关系，节点3和节点4状态空间的扩展也可以按此方法构成;另一方面，扩展AGV节点的状态空间，考虑AGV状态改变与自身以及前后制造单元的缓存区容量相关，所以其状态由AGV是否装载工件信息和AGV所处的位置信息构成，通过AGV的位置、缓存区容量大小描述AGV的状态相关路径来建立状态之间的转移关系。后续状态空间求解以及系统性能指标的计算可参照传统的状态空间法。

2.2 系统节点状态转移分析

2.2.1 系统节点1状态模型

节点1为系统的输入节点，节点中工件输入、输出方式为典型单个到达、单个离开的模式；由于节点状态的转移与节点缓冲区B0容量、AGV运行状态相关，必须考虑节点与AGV之间的关联耦合。因此，节点状态由B0容量和AGV状态组成，设节点的状态空间为

S1{(n1,a,b,…);0≤n1≤N1}。

(1)

式中：n1为B0中工件数量;N1为B0的最大容量。a,b,…为AGV的运行状态，设小车的运行状态为-1,0,1，其中状态-1表示AGV到达B0，发现B0没有工件的情况；状态0表示AGV返回B0；状态1表示AGV从B0处运载工件离开。节点状态空间为(2m×N1+3m)维，其中m表示AGV的数量；考虑节点状态空间维数过大，不便于描述节点状态转移的情况，以两辆AGV小车为例，设节点状态空间为

S1{(n,a,b);0≤n1≤N1}。

(2)

节点的状态转移情况如图3所示，其中：λ表示毛坯到达B0出的速率;P11(N11),P21(N21)表示B11,B21待加工区满的概率；V1表示AGV从B0出发到达B11，然后经过B12返回B0处的平均速率；V2表示AGV从B0出发到达B21，然后经过B22返回B0处的平均速率；V3表示AGV从B0出发到达B11，然后经过B22返回B0处的平均速率；状态间的转移概率分别为BIA02=P11(N11)×P21(N21)/2,TIA02=P11(N11)×P21(N21)BIA01=(1-P11(N11))×(1-P21(21)),BIA10=(V1+2×V2+V3)/4，TIA10=(V1+2×V2+V3)/8，TIA01=(1-P11(N11))×(1-P21(21))/2。

2.2.2 系统节点2状态模型

节点2为系统AGV的运输节点，作用是将待加工工件运送到制造单元的待转运区，同时从待转运区运载加工完的工件到成品区，其运输规则服从负荷均衡原则。节点状态与AGV所处的位置和AGV是否装载工件相关，状态间转移由缓冲区B0、B11、B21、B12、B22含有的工件数决定，设节点2的状态空间为

S2{A,a,A,b,A,c,…;A=-1,0,1,2;

a=-1，0,1,2,3,4;b=-1，0,1,2,3,4;

c=-1，0,1,2,3,4;…}。

(3)

式中：A表示AGV是否装载工件，A=-1表示AGV在B0处等待装载工件，A=0表示AGV没有装载工件，A=1表示从B0装载工件前往B11，B12，A=2表示AGV从B21，B22装载工件返回B0处。a,b,c,…表示小车所处的位置，a=0表示AGV处于B0位置，a=1表示AGV处于B11位置，a=2表示AGV处于B21位置，a=3表示AGV处于B12位置，a=4表示AGV处于B22位置。节点状态为6m维，m表示AGV的数量，为便于表述节点状态转移情况，以两辆AGV为例建立节点的状态转移图，设节点状态空间为

S2{A,a,A,b;A=-1,0,1,2;

a=-1,0,1,2,3,4;b=-1,0,1,2,3,4}。

(4)

根据小车状态和是否装载工件可将状态转移情况分为9类，现列举以下3类：

(1)两辆AGV都处于返回B0的过程中，则节点状态(0,0,0,0)可转移到(1,1,0,0)，(1,2,0,0)，(2,4,0,0)，(0,0,1,2)，(0,0,1,1)，(0,0,0,-1)，(0,0,2,3)，(0,0,2,4)，(2,3,0,0)，(0,-1,0,0)状态，转移概率分别为TIA101，TIA201，TIA402，TIB201，TIB101，TIA00，TIB302，TIB402，TIA302，TIA00，图4a所示为其状态转移图。

(2)其中一辆AGV运载工件前往待加工区，另一辆返回B0，则节点状态(1,1,0,0)可转移到(0,-1,0,0),(1,1,1,1),(0,0,0,0),(1,1,1,2),(1,1,0,-1),(1,1,2,3),(2,4,0,0),(2,3,0,0),(1,1,2,4)状态，转移概率分别为WDA01,DIB101,TIA101,DIB201,DIA00,DIB302,DIA402,DIA302,DIB402,图4b所示为其状态转移图。

(3)其中一辆AGV前往待转运区装载工件，另一辆返回B0，则节点状态(2,3,0,0)可转移到(2,3,0,-1)，(0,0,0,0)，(2,3,2,3)，(2,3,2,4)，(2,3,1,2)，(2,3,1,1)，转移概率分别为DIA00，TIA302，DIB302，(V2+V3)2/2(V1+2V2+V3)，DIB201，DIB101，图4c所示为对应的状态转移图。以上三类状态转移情况中的转移概率求解方法为DIA302=DIB302=P11(N11)×P21(N21)×P12，TIA101=TIB101=(P0(i≠0)×(1-P11(N11))×(1-P21(N21))×P11/2DIA402=DIB402=P11(N11)×P21(N21)×P22，TIA201=TIB201=(P0(i≠0)×(1-P11(N11))×(1-P21(N21))×P21/2，TIA302=TIB302=P11(N11)×P21(N21)×P12/2，DIA101=DIB101=(P0(i≠0)×(1-P11(N11))×(1-P21(N21))×P11，TIA00=(P0(0)×(1-P11(N11))×(1-P21(N21))/2，DIA201=DIB201=(P0(i≠0)×(1-P11(N11))×(1-P21(N21))×P21，DIA00=P0(0)×(1-P11(N11))×(1-P21(N21)，WDA01=λ×(1-P01(0))×P21。其中P11表示B11中工件数少于B21；P21表示B11中工件数大于B21；P12表示B21中工件数大于B22；P22表示B22中工件数大于B21。

2.2.3 系统加工节点3状态模型

节点3为系统的加工节点，节点中每个加工单元工件的到达方式为单个到达，离开方式为单个离开；到达速率由AGV的运输速率决定；完工工件的离开由节点四B12、B22中的缓存区工件数决定。因此建立节点状态空间需要考虑节点与AGV和节点4之间的耦合效应，设节点的状态空间为

S3{n1,n2,E1,E2,A,B,…;0≤n1≤N11;

0≤n2≤N21;E1=E2=W,V;

A=B=…=0,1}。

(5)

式中：n1和n2分别表示B11,B21中的工件数；E1和E2分别表示加工单元W11和W22是否被后节点阻塞，W和V分别表示加工单元没有被阻塞和被阻塞。A，B,…表示AGV的状态，1表示AGV装载工件前往B11,B21缓存区；0表示AGV离开节点3。节点3的状态空间为16(N11+1)(N21+1)维，为便于表述节点的状态转移情况，以两辆AGV为例，建立节点状态转移率图，设节点状态空间为

S3(n1,n2,E1,E2,A,B)。

(6)

依据AGV状态和加工中心是否被阻塞可将状态转移情况分为16类，列举其中的4类。

(1)两辆AGV返回B0且加工中心都没有被阻塞，节点状态(n1,n2,W,W,0,0)可转移到(n1-1,n2,W,W,0,0),(n1,n2,V,W,0,0),(n1+1,n2,V,W,1,0),(n1,n2,W,W,1,0),(n1+1,n2,V,W,1,0),(n1,n2,W,V,0,0),(n1,n2-1,W,W,0,0)状态，转移概率分别为μ1(1-P12(N12)),μ1P12(N12),TLA12,V1,TLA12,μ2P22(N22),μ2(1-P22(N22))。图5a所示为其状态转移图。

(2)两辆AGV分别处于返回B0和运载工件前往待加工区，且两个加工中心都没有被阻塞，节点状态(n1,n2,W,W,1,0)可转移到(n1,n2+1,W,W,0,0)，(n1+1,n2,W,W,1,0)，(n1,n2,V,W,1,0)，(n1,n2,W,W,1,1)，(n1,n2,W,V,1,0)，(n1,n2-1,W,W,1,0)，(n1+1,n2,W,W,0,0)状态，转移概率分别为V2，μ1(1-P12(N12))，μ1P12(N12)，DLA12，μ2P22(N22)，μ2(1-P22(N22))，V1，图5b所示为其状态转移图。

(3)两辆AGV装载工件前往待加工区且加工中心都没有被阻塞，节点状态(n1,n2,W,W,1,1)可转移到(n1-1,n2,W,W,1,1)，(n1,n2,V,W,1,1)，(n1,n2+1,W,W,1,0)，(n1+1,n2,W,W,1,0)，(n1,n2+1,W,W,0,1)，(n1,n2,W,V,1,1)，(n1,n2-1,W,W,1,1)状态，转移概率分别为μ1(1-P12(N12))，μ1P12(N12)，V2/2，V1/2，V2/2，μ2P22(N22)，μ2(1-P22(N22))，图5c所示为其状态转移图。

(4)两辆AGV分别处于返回B0和运载工件前往待加工区，且两个加工中心有一个被阻塞，节点状态(n1,n2,V,W,1,0)可转移到(n1-1,n2+1,W,W,0,0)，(n1,n2,W,W,0,0),(n1,n2,V,W,1,1),(n1,n2,V,V,1,0),(n1,n2-1,V,W,1,0)状态，转移概率分别为V1,DLA12,V1,μ2P22(N22),μ2(1-P22(N22))，图5d所示为其状态转移图。

以上四类状态转移情况中的转移概率求解方法为μ1、μ2分别为加工中心W11、W22的加工速率；P11(m)、P21(m)为B11、B21缓存区含有m个工件的概率，其中P11(N11)、P21(N21)表示B11、B21没有多余的空位容纳AGV运输过来的工件；P01表示B0缓存区空闲的概率；TLA12为两辆AGV小车从返回状态变成装载工件前往节点三的转移概率；DLA12为只有一辆AGV小车从返回状态变成装载工件前往节点三的转移概率(TLA12=(1-P01)/2、DLA12=(1-P01))。

2.2.4 系统节点4状态模型

节点4为系统输出节点，由待转运区B12与B22组成；每个带转运区的工件输入、输出为单个到达、单个离开；输入速率由节点3的有效输出速率决定，节点4的输出速率由AGV运输速率决定。因此建立节点4状态空间需要考虑节点与上节点和AGV之间的耦合关系，设节点状态空间为

S4{n1,n2,A,B,C,……;0≤n1≤N12,

0≤n2≤N22,A=B=…=0,1}。

(7)

式中：n1和n2分别表示B12和B22中的工件数;A,B,C,…表示AGV所处的状态,0表示AGV处于从节点返回B0处，1表示AGV从B0,B21,B11前往节点中某个Buffer卸载工件;P031和P032表示B11、B21没有工件的概率;PB41和PB42表示节点4阻塞节点3的概率(B22,B21没有多余的空位)。节点状态空间为4×(N12+1)(N22+1)维，为便于简单描述节点的状态转移情况，以两辆AGV建立节点的状态转移图，设节点4的状态空间为

S4{n1,n2,A,B}。

(8)

根据AGV状态可将节点状态转移情况分为4类，在不考虑B12和B22已满的情况下，列举其中的3类：

(1)两辆AGV从节点返回B0处，节点状态(n1,n2,0,0)可转移到(n1,n2,0,1)，(n1,n2,1,0)，(n1+1,n2,0,0)，(n1,n2+1,0,0)状态，转移概率分别为(V1+2×V2+V3)/8，(V1+2×V2+V3)/8，μ1(1-P031-PB41)，μ2(1-P032-PB42)，图6a所示为其状态转移图。

(2)两辆AGV分别从节点4返回B0和前往待转运区装载工件，节点状态(n1,n2,1,0)可转移到(n1,n2+1,1,0),(n1+1,n2,1,0),(n1,n2,1,1)状态，转移概率分别为μ1(1-P031-PB41),μ2(1-P032-PB42),(V1+2×V2+V3)/4，图6b所示为其状态转移图。

(3)两辆AGV前往待转运区装载工件，节点状态(n1,n2,1,1)可转移到(n1,n2+1,1,0)，(n1+1,n2,1,0)，(n1,n2+1,1,0)，(n1+1,n2,0,1)，(n1+1,n2,1,1)，(n1,n2+1,1,1)状态，转移概率分别为(V1+2×V2+V3)/8，(V1+2×V2+V3)/8，(V1+2×V2+V3)/8，(V1+2×V2+V3)/8，μ1(1-P031-PB41)，μ2(1-P032-PB42)，图6c所示为其状态转移图。

2.3 系统稳态分析

由纯不连续马氏过程可知，系统节点中每个状态具有流入节点速率等于流出节点速率的特性；据此建立每个状态的转移率平衡方程，以节点四的(n1,n2,1,1)状态为例，该状态下的平衡方程为

Π(n1,n2,1,1)(μ1×(1-P031-PB41)+

μ2×(1-P032-PB42)+(V1+V2))=

(Π(n1+1,n2,0,1)+Π(n1,n2+1,0,1)+Π(n1+1,n2,1,0)+

Π(n1,n2+1,1,0))×((V1+2×V2+V3)/8)+

Π(n1,n2+1,1,1)(μ2×(1-P032-PB42))+

Π(n1+1,n2,1,1)(μ1×(1-P031-PB41))。

(9)

根据各节点状态的转移率平衡方程，组成节点状态的转移概率方程组ΠQ=0,其中Q为节点的转移率矩阵，Π为当前节点状态的稳态概率；求解齐次线性方程组ΠQ=0，可采用直接法和迭代法，考虑本文节点状态多的情况，用直接法求解会陷入维数灾，因此采用Gauss-Seidel迭代法求解，通过各节点状态所处的稳态概率，求得系统的产出率和在制品数量性能指标[15]，计算公式如下：

平均产出率

OutRate=((V1+V2)/2)×(Π(1,1,0,0)+

Π(0,0,1,1)+Π(0,0,0,0)+Π(1,2,0,0)+

Π(0,0,1,2)+Π(2,3,0,0)+Π(2,4,0,0)+Π(0,0,2,3)+

Π(0,0,2,4)+V1×(Π(0,0,2,3)+Π(2,3,0,0)+

Π(2,3,1,1)+Π(2,3,1,2)+Π(1,1,2,3)+Π(1,2,2,3)+

2×Π(2,3,2,3)+Π(2,3,2,4)+Π(2,4,2,3))+

V2×(Π(0,0,2,4)+Π(2,4,0,0)+Π(2,4,1,1)+

Π(2,4,1,2)+Π(1,1,2,4)+Π(1,2,2,4)+

2×Π(2,4,2,4)+Π(2,3,2,4)+Π(2,4,2,3));

(10)

平均在制品数量

(11)

3 性能分析

本文排队网模型的数值求解基于系统Windows 10，硬件环境分别为CPU 2.0 GHZ、4.0 GBRAM的PC机，求解工具为MATLAB 2013b。为验证基于状态空间分解法的排队网模型的有效性，需要基于Tecnomatix Plant Simulation 11的仿真平台[16]搭建本文的仿真模型，对本文排队网模型状态空间分解法的数值求解结果与仿真统计方法所得系统性能指标值进行对比与分析。

3.1 仿真模型

具有随机路径同等并行AGV制造单元的仿真模型如图7所示，考虑仿真系统中，工件的到达、加工中心的加工时间、AGV运行路径和运输时间为随机分布。为了消除仿真的统计波动影响，得到能精确描述仿真系统的仿真结果，利用大数定理设计相同参数的多次实验，每次仿真时间设置为1 000，得到仿真系统的稳态结果,求多次实验的均值，以此作为仿真的最终结果，其系统性能指标的计算公式如下：

平均产出率

RateOutput=NumOutput/T;

(12)

平均在制品数

(13)

3.2 状态空间分解法的有效性验证

3.2.1 系统性能指标的影响因素

为验证利用状态空间分解求解文本模型的有效性，分析影响系统性能指标的因素，揭示系统内在规律，设置以下参数：

(1)系统通流密度 系统流通密度的设置主要从两个方面考虑：①系统的流入速率主要影响系统的产出率；②为确保系统能得到稳态解，制造车间的生产线必须处于平衡状态，因此系统的流通密度必须小于等于1，即系统工件的流入速率必须小于或等于后级加工单元的加工速率。

(2)各缓存区容量 考虑制造车间生产线上的缓存区容量是影响制造系统生产周期的主要因素，缓存区容量过大或过小对生产线生产周期都有很大的影响。

(3)AGV运输速率 AGV在生产线被等效处理成一个加工节点，本文AGV运输过程中只装载单个工件，AGV速率的设置必须大于系统的流入速率。为避免AGV运输节点成为生产线的瓶颈，AGV速率的设置必须大于系统的流入速率。同时考虑AGV相对于其他环节成本更低的情况，可以设置AGV运输速率略大于其他加工中心的速率。

本文通过改变流通密度、各级缓存区容量、AGV运输速率，验证利用改进的状态空间分解法建立的具有随机路径同等并行AGV制造单元开排队网模型的有效性。

3.2.2 实验参数设计及系统指标敏感度分析

设置如表1所示的实验算例参数，利用状态空间分解法计算系统的产出率和在制品数量这两项系统性能指标，以仿真统计的结果为基准，计算状态空间分解法与仿真统计结果的相对误差。计算结果如表2所示，其中Apprx.，sim.，和Error分别表示为MATLAB计算结果、仿真结果和两者的相对误差。

表1 算例参数设置

续表1

表2 算例结果对比

根据表2算例结果不难发现，当系统参数设置改变时，扩展的状态空间法的数值结果与仿真统计的结果变化趋势相同。就系统的产出率而言，两者之间的相对误差在5%以内，两者的系统在制品数量相对误差在10%以内。考虑扩展的状态空间法为近似求解算法以及仿真统计自身的误差，扩展的状态空间法与仿真之间的误差处于可接受的范围。对于系统数值结果与仿真结果出现的误差，可以从以下几方面分析：①仿真统计自身存在统计波动现象，而且数值计算存在一定的计算误差;②从建立的开排队网模型分析，建立的数学模型与仿真模型存在一些差异，考虑系统各节点状态维数不宜过大，仿真系统中某些极限状态在开排队网模型中没有涉及到。例如仿真模型中AGV会出现在加工中心等待，而数学模型没有考虑该类状态，为简化排队网模型中的转移速率，以平均速率代替AGV运行过程中实际速率，其实平均速率与真实运行速率之间存在差异，以上情况都会加剧数值结果与仿真结果间的误差。图8所示的系统指标变化趋势为相应改变缓存区容量、流通密度、AGV运行速率后的对比结果。

Ⅰ组案例为改变系统缓冲区B0，B11，B21，B12，B22的容量，其中B0为具有拒绝功能的缓存区。增加B0的容量，系统的产出率增加；而改变其他缓存区容量，系统的产出率增加很小。由于系统在制品数量对缓存区容量变化敏感，缓存区容量增加，在制品数量也会相应增加，每增大1个容量，系统在制品的数量几乎增加1个。根据利特定律可求得系统的生产周期，系统在制品越多，生产周期越长，为兼顾产出率和生产周期，合理地设置缓存区容量的非常重要。

Ⅱ组案例为改变系统流通密度，当加大输入速率时，系统的产出率变化不大，工作中的加工速率为1，AGV的运行速率为1.2，显然，此时的生产线存在瓶颈。后续又增加工作中心的速率，而系统的产出率依然没有大的增加，当AGV的生产的速率为输入速率的1.5倍时，并不能满足生产线的需求。就在制品而言，输入率增加，在制品数量增加；当制造系统存在瓶颈，且瓶颈不在系统输入率时，增加系统的输入率只会增加在制品的数量，同时增加产品的生产周期。

Ⅲ组案例为改变AGV的运行速率，增大AGV的运输速率，系统的产出率增加，且变化的趋势较大，同时系统在制品数量呈下降的趋势，依据利特定律可知生产线的生产周期减小。可见此时AGV是制造系统的瓶颈，当AGV的速率增加大为输入率的1.8倍左右时，AGV环节才不会成为系统的瓶颈环节。

由以上规律可得，系统产出率的主要影响因素为负荷强度、系统第一个缓存区容量、AGV运输速率。增加缓存区容量、AGV运输速率和AGV数量会增加系统的产出率，但过大的缓存区容量和过多的AGV会增加系统在制品数量，从而增加生产系统的管理难度；同时，与文献[9-11]中速率设置不同，AGV运行速率等效成加工设备1.8倍左右，才能避免AGV运输环节成为系统的瓶颈环节，但AGV速率的设置会因排队网拓扑结构而异。系统在制品数量的主要影响因素为各缓存区容量，增加缓冲区容量会使产出率略有增加。就增加缓存区的成本和增加设备成本而言，增加缓存区价格更便宜，然而缓存区过大，系统的在制品将剧增，生产周期变长，影响交货期，而现在按期交货也是企业的核心竞争力之一。因此合理设置缓冲区容量，使生产周期能够满足客户的需求，显得尤为重要。

4 结束语

本文针对具有随机路径同等并行AGV的制造单元，充分考虑AGV运输环节与其他3个节点的耦合关系，建立对应的开排队网模型，利用状态空间分解法求得其数值解;搭建了开排队网模型对应的仿真模型，将仿真统计结果与模型数值解对比，最后验证了利用状态空间分解法求解具有随机路径同等并行AGV制造系统建模问题的有效性。该排队网模型拓宽了排队网建模与分析理论的使用范围，为进一步研究带有储运单元的制造系统性能，对相关系统进行设计或者资源优化，以及解决该类系统的缓冲区容量配置、AGV数量和设备能力配置提供了理论基础。

本文只定性分析了缓冲区容量、AGV和设备能力对系统性能指标的影响，没有定量分析该系统的资源配置；考虑AGV运输过程只能装载单个工件，没有涉及批量运输问题。未来将在此基础上，对具有该特点的开排队网进行资源优化，并考虑具有批量运输以及随机路径的制造系统建模。