与全称(或特称)命题真假有关的参数取值范围问题—— 利用导数解决的方法

徐名琴

(新疆乌鲁木齐市新农大附中 830000)

一、参变分离,转化为最值问题

例1 若不等式4xlnx≥-x2+tx-2对x∈(0，+∞)恒成立，求实数t的取值范围.

二、分类讨论

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.

例2 已知函数f(x)=lnx-mx2-4x(m≠0)存在单调递减区间，求实数m的取值范围．

当m>0时，g(x)=2mx2+4x-1为开口向上的抛物线，2mx2+4x-1>0总有正解；

当m<0时，g(x)=2mx2+4x-1为开口向下的抛物线，要使2mx2+4x-1>0总有正解，则Δ=16+8m>0，解得-2

综上所述，m的取值范围为(-2,0)∪(0，+∞)．

三、分而治之，各个击破

若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为求f(x)与g(x)的最值比较.

四、整体处理

若f(x)与g(x)的最值不易求出，可以有意识的放大观察问题的视角，将需要解决的问题，看作一个整体.

比如构造函数h(x)=f(x)-g(x)，通过研究问题的整体形式，整体结构，并注意已知条件及待求结论在这个整体中的地位和作用，通过对整体结构的调节和转化使问题获解.

经检验，0

五、正难则反

有些问题直接入手解决相当不易，尤其是对于唯一性或存在问题，可使用逆否命题等价转化法，更简捷.

解析g′(x)=3x2+(a+4)x-4.若g(x)在区间(m,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(m,3)上恒成立或②g′(x)≤0在(m,3)上恒成立.