曲线参数方程的求值应用

于 航

(河北省乐亭第一中学 063600)

一、直线参数方程求值

例1 抛物线C：y2=4x，其焦点为F，现过点F作两条直线l1、l2，且使得l1⊥l2，设直线l1与抛物线C相交于A、B两点，直线l2与抛物线C相交于D、E两点，试求|AB|+|DE|的最小值.

分析利用直线参数方程来解题，首先设出直线l1的参数方程，代入抛物线C中，利用弦长公式可得|AB|的值，利用l1⊥l2的特殊关系可以推出|DE|的值，从而可建立|AB|+|DE|关于直线参数的关系式，结合参数的取值范围即可求解.

我们在利用直线参数方程求值时可以按照如下思路：首先根据直线的斜率和点设出参数方程，然后联立参数方程与其它曲线的方程.对于常见的距离问题或弦长问题，则需要我们结合相应的距离公式或弦长公式，将线段问题转化为关于直线参数的函数，结合参数的取值来求解.

二、圆的参数方程求值

分析点A位于圆O上，则其坐标必然满足圆O的方程，求比值的最值可以结合圆的参数方程，转化为关于参数的函数来求解.

需要我们注意的是，一般曲线圆的参数方程的参数取值为[0,2π)，在构建完关于参数的函数关系后如若难以通过参数定义域来确定问题的最值，则可以逆向思考，利用三角函数值域来反向求解，互换函数关系的变量.

三、双曲线参数方程求值

例3 已知圆O：x2+(y-2)2=1，双曲线C：x2-y2=1，点P和Q分别位于圆O和双曲线C上，试求点P和Q之间距离的最小值.

分析此题利用解圆外一点到圆上的最小值的思路，即PQ的延长线经过圆心时才有距离的最值，则|PQ|min=|PO|min-r，所以可以先求出点Q到圆心O的最小值.

利用双曲线的参数方程求相关距离的值，需要将曲线上的点参数化，这样有利于我们后续求两点之间距离.在对曲线参数化的同时，也就将几何问题转变为代数问题，这样求解相对较为简单.

总之，我们求解数学解析几何的求值问题时，可以利用曲线的参数方程来转化问题，尤其是解与线段长相关的问题，利用参数思想可以建立函数关系，从代数角度来分析.对于圆、椭圆、双曲线问题，也可以通过三角代换来对函数降元，然后结合三角函数的性质求值.