数列敛散性的判定方法

王艳萍

宿州学院数学与统计学院，宿州，234000

以极限为工具研究变化率问题和无穷累积问题，分别建立了微积分和积分学，足见极限理论在微积分中的重要地位。数列的敛散性判断是极限问题研究的基础，许多学者长期致力于研究该问题，并给出了一些数列的判定方法［1-4］。然而数列形式多样，其敛散性的判断没有固定模式。本文对常见数列形式及已知条件进行分析，对其相应敛散性的判断方法作分类研究与总结，并结合具体实例来说明相应方法的有效性。

1 判定方法

1.1 “ε-N”定义［5，6］

注：（1）用此方法的重点在于N的选取，N一旦存在，数列即收敛；（2）可根据“ε-N”定义的否定形式去判断数列的发散；（3）定义法相对比较复杂，不常用该方法判断数列的敛散性。

1.2 邻域形式的定义

对任意的 ε＞0，如果在 U（a，ε）之外，数列｛xn｝中的项至多有有限个，则称数列是收敛于极限a。事实上，该定义是“ε-N”定义的几何意义，即改变数列的前N项并不影响数列的收敛性。通常情况下，用该定义的否定形式去判断一个数列的发散。其否定形式为：如果存在某一ε0＞0，使得在U（a，ε0）之外数列｛xn｝中的项有无限个，则称数列不以a为极限。

例 2 证明数列 ｛n（-1）n｝发散。

证明 任意实数a∈R，取ε0＝1，当时，有 （2n）（-1）2n＝2n＞ε0），即在 U（a，ε0）之外数列 { n（-1）n}中的项有无限个，所以该数列的项不是a，由a的任意性说明原数列无极限。

注：该方法一般常用于数列发散的判断，重点在于寻找ε0的存在。

1.3 子列方法

定理1［5］数列 x{n}收敛⇔该数列的任何非平凡子列都收敛。此方法用数列的非平凡子列敛散性去判断数列的敛散性时，前提是其非平凡子列的敛散性易判断。

注：一般情况，用定理1的逆否命题去判断一个数列的发散性，即通过找到一发散子列判断数列发散。

例4 证明数列 { （ -1）n} 与数列是发散的。

证明 因为数列{（-1）n}的偶数项组成的子列 { （ -1）2n}收敛于极限1，而其奇数项组成的子列 {（-1）2n-1}收 敛 于 极 限 -1，所 以 数 列{ （ -1）n} 是发散的；数列的奇数项组成的子列为即是 {（-1）k-1}是发散的，所以是发散数列。

1.4 数列的有界无界

单调有界原理［5-6］：单调有界数列必有极限。

单调有界原理可在不求出数列极限的情况下判定数列的收敛性；同时，也可根据收敛数列的有界性推出：若一数列无界，则该数列发散。

证明 首先证明该数列是单调的。由二项式展开得：

1.6 迫敛性定理

注：（1）在构造不等式时，左右不等式的极限必须相同；（2）此方法仅是判断数列收敛的方法，无法判断数列发散。

1.7 上下极限的方法

注：定理2中的逆否命题可判断数列的发散性。

1.8 四则运算法

由收敛的定义可知，若数列的极限存在，则数列收敛；反之，发散。所以可用极限的四则运算法判断数列的极限是否存在来判断数列的敛散性。（1）对于有限个收敛数列的和差积商（分母及分母的极限不为零）仍然是收敛数列。（2）若 ｛xn｝与 ｛yn｝中一个收敛，另一个发散，则它们的和差必发散，但是积商未必发散。比如是收敛的，y＝n是n发散的，但xnyn＝1是收敛的。

注：此方法适用于将一个数列看成有限个敛散性易于判断的数列的和差积商的情形。

注：在判断收敛时仅对有限个数列的四则运算成立。

1.9 压缩映射原理

注：此方法适用于数列所对应的函数为压缩函数的情形。

2 结语

数列的敛散性是极限问题研究的基础，而数列的种类千变万化，其判定方法也不尽相同。本文探究了利用数列的“ε-N”定义、邻域的定义、子列的性质、数列有界无界性质、柯西收敛准则、迫敛性定理、上下极限、四则运算法、压缩映射原理等条件判定数列敛散性的方法，针对一些常见的数列形式及已知条件进行分析，给出相应的判定方法，并结合算例验证了相应方法的有效性。本文的不足之处在于因数列形式的多样性，更多数列敛散性的判定方法并没有给出，还有待进一步讨论。