确界原理与连续归纳法的等价性

刘晓兰

【摘要】本文先利用实数的连续归纳法证明了确界原理，然后利用确界原理证明了实数的连续归纳法，说明了二者的等价性。

【关键词】实数 确界原理 数学归纳法

【Abstract】In this paper， the principle of Supremum and Infimum is proved by the continuous induction of real Numbers firstly， then the equivalence relation between continual induction and the Principle of Supremum and Infimum is given.

【Keywords】real number； principle of supremum and infimum； mathematical induction

【中圖分类号】O172.2 【文献标识码】C 【文章编号】2095-3089（2018）38-0128-01

1.引言

确界原理作为极限理论的基石在微积分理论中占有极为重要的地位，关于它的证明方法也有很多种，其中，文[1]通过实数的无限小数表示法来证明的做法显得尤为巧妙简洁，但若仔细推敲其证明过程，不难发现其中亦有许多美中不足之处，文[2]修正了其证明，但同样复杂。本文先用连续归纳法给出确界原理的一个简单证明，然后用确界原理给出连续归纳法的证明，证明了二者的等价性，进而可以将实数的连续归纳法作为实数完备性定理之一。

张景中院士在文[3]中提出了实数的连续归纳法，这是一个简单、便于应用和掌握的方法。从它出发，可以用统一模式推出已知的一系列关于实数的定理并用统一模式证明微积分中涉及连续性的各个命题。[4]

2.关于正整数的数学归纳法原理

由上可知，连续归纳法与确界原理等价，故而它可以作为实数基本定理之一。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编.数学分析（上册）（第四版）[M].高等教育出版社.

[2]韩诚. 确界原理的一个修正证明[J].大学数学2014（30）：69-70.

[3]张景中，曹培生. 从数学教育到教育数学（最新版） [M] . 中国少年儿童出版社.

[4]张景中.数学与哲学[M].长沙： 湖南教育出版社.