基于盖尔圆定理的矩阵特征值估计

雍龙泉

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院, 陕西 汉中 723000)

1931年，Gerschgorin提出了著名的盖尔圆定理，这便是矩阵特征值估计的开山之作。矩阵特征值估计是矩阵分析中的热点问题[5-11]，在很多领域都起到重要的作用。本文利用盖尔圆定理，给出一般矩阵特征值在复平面上的大概范围。通过相似变换，使得所有盖尔圆相互孤立，从而每个孤立的盖尔圆内仅含有一个特征值；且在保证所有盖尔圆孤立的同时，尽可能使得“所有盖尔圆围成区域的面积和”减少，以便更精确地估计出矩阵特征值的范围。

1 盖尔圆定理

定理1(盖尔圆定理1[12]) 矩阵A=(aij)∈Cn×n的一切特征值都在它的n个盖尔圆的并集之内。

定理2(盖尔圆定理2[12]) 由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由k个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A的k个特征值(盖尔圆相重时重复计数，特征值相同时也重复计数)。

例1 证明矩阵A能够相似于对角矩阵，且矩阵A的特征值都是实数。这里

分析这是一个n阶非对称方阵，文献[13-14]中指出该矩阵为广义正定矩阵。但是求其特征值或特征向量似乎难以用《线性代数》或者《高等代数》的知识进行计算[15-16]。

证明矩阵A的n个盖尔圆为

G1={z:|z-2|≤1},

显然这n个盖尔圆是相互孤立的，所以矩阵A有n个互不相同的特征值，从而A相似于对角矩阵。又因为Gi(i=1,2,…,n)关于实轴对称，且每个盖尔圆中只有A的一个特征值，所以A的特征值都是实数(因为复特征值一定成对共轭出现[17])。

解矩阵A的4个盖尔圆为

G1={z:|z-1|≤0.6},

G2={z:|z-3|≤0.8},

G3={z:|z+1|≤1.8},

G4={z:|z+4|≤0.6}。

如图1，利用定理2可知A的4个特征值全落在4个盖尔圆并集内。鉴于G2和G4孤立，故G2和G4中各有一个特征值；而G1与G3构成的连通部分含有两个特征值。事实上，该矩阵的4个特征值为{-3.989 3,-1.111 8,1.075 7,3.025 3}。

图1 例2对应的盖尔圆

2 特征值估计

鉴于相似变换不改变矩阵的特征值，因此借助相似变换来缩小盖尔圆的半径，将盖尔圆进行分离，使得每一个盖尔圆内恰好含有一个特征值，从而进一步明确特征值的范围。

取对角阵做相似变换：选取P=diag(p1,p2,…,pn)，其中pi>0,i=1,2,…,n。则

图2 例3对应的盖尔圆(a)

解矩阵A的3个盖尔圆为

G1={z:|z-20|≤5.8},

G2={z:|z-10|≤5},

G3={z:|z-10j|≤3}。

如图2所示，G1与G2构成的连通部分含有两个特征值；G3中有A的一个特征值。事实上，该矩阵的3个特征值为{-0.118 1+9.910 4j,8.341 3+0.058 1j,21.776 8+0.031 5j}。

图2中3个盖尔圆所围成区域的面积和S满足

π+25π+9π=67.64π。

下面设法缩小盖尔圆G1与G2的半径(或者说，适当增大盖尔圆G3的半径)，使得G1与G2分离。

图3 例3对应的盖尔圆(b)

{z:|z-20|≤5.4},

解A的3个盖尔圆为

G1={z:|z-20|≤4},

G2={z:|z-10|≤2},

G3={z:|z|≤9}。

如图4所示,G2与G3构成的连通部分含有两个特征值；G1中有A的一个特征值。事实上，该矩阵的3个特征值为{-0.376 1,9.597 6,20.778 5}。

图4中3个盖尔圆所围成区域的面积和S满足:97π=SG1+SG3

图4 例4对应的盖尔圆(a)

{z:|z-20|≤5},

图5 例4对应的盖尔圆(b)

说明：选取正数p1,p2,…,pn的一般原则：欲使A的第i个盖尔圆缩小，可取pi<1，其余取为1；反之，欲使A的第i个盖尔圆放大，可取pi>1，其余为1。通过相似变换后所有盖尔圆围成区域的面积和有可能增大(例3)，也有可能减小(例4)；若相似变换后所有盖尔圆的面积和小于变换前的面积和(例4)，则表明矩阵特征值的范围更精确。

注：如何使相似变换后所有盖尔圆围成区域的面积和减少，暂无统一办法,需具体问题具体分析。

3 结束语

本文利用盖尔圆定理，通过相似变换，初步估计出了矩阵特征值的范围。所以本文开始提出的问题就可容易解决。设实对称n阶方阵A的任一特征值为λ，Gi为第i个盖尔圆，记A的所有盖尔圆的并集为G=∪Gi；由定理2知，λ∈G。因此总可以在G的外面取一个正数ε，使得A+εI为半正定矩阵。

例如在研究方微分方程数值解时，常需考虑如下三对角矩阵[18]

根据定理2，相应的盖尔圆为G1={z:|z+2|≤1}和G2={z:|z+2|≤2}。设λ为矩阵A的任一特征值，则λ∈(G1∪G2)；由于矩阵A的特征值皆为实数，故λ∈[-4,0]。因此，只要选取ε≥4，此时A+εI就是半正定矩阵。该结论在矩阵扰动分析及优化理论[19-20]中具有重要的应用前景。