广义Morrey空间上Hörmander象征的 双线性拟微分算子的交换子

陶双平, 李巧霞

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引言与主要结果

设T是双线性算子,a(x)是n上的函数, 双线性交换子定义为

[T,a]1(f,g)=T(af,g)-aT(f,g), [T,a]2(f,g)=T(f,ag)-aT(f,g).

当T是单线性拟微分算子时, Calderón[1]证明了核为(-n-1)阶齐次时,T与Lipschitz函数生成的交换子在Lebesgue空间上是有界的, 即

‖[T,a](f)‖Lp‖a‖Lip1‖f‖Lp, 1

(1)

设ρ,δ≥0,m∈, 如果(x,ξ)∈2n且对所有多重指标α,β, 都成立(1+|ξ|)m+δ|α|-ρ|β|, 则称象征σ(x,ξ)属于Hö设相应的线性拟微分算子定义为

定义1[17]设w:n×(0,+∞)→(0,+∞), 1≤p<∞, 广义Morrey空间Lp,w(n)定义为

其中B(x,r)表示以x为心、r为半径的开球.

易见, 当w(x,r)=rλ,λ∈(0,n)时,Lp,w(n)即为经典的Morrey空间Lp,λ(n). 文献[18-19]进一步完善了Morrey空间的相关结果.

定义2[20]设b∈Lloc(n), 如果则称b∈BMO(n). 其中:

本文主要结果如下:

取w(x,r)=rλ(0<λ

推论1在定理1的条件下, 交换子[Tσ,a]j(j=1,2)从Lp1,λ(n)×Lp2,λ(n)到Lp,λ(n)是有界的.

推论2在定理2的条件下, 交换子[[Tσ,a]j,b]i(i,j=1,2)是从Lp1,λ(n)×Lp2,λ(n)到Lp,λ(n)上的有界算子.

记AB表示A≤CB, 其中C是不依赖于主要函数或参量的常数, 在不同之处可取不同的值.E⊂n, 用χE表示集合E的特征函数. 1≤p≤∞,p′表示p的对偶指标, 即1/p+1/p′=1.

2 定理的证明

K(x,y,z)=∬eiξ·(x-y)eiη·(x-z)σ(x,ξ,η)dξdη,

K1(x,y,z)=(a(y)-a(x))K(x,y,z),K2(x,y,z)=(a(z)-a(x))K(x,y,z).

引理1[6]当x≠y或x≠z时, 成立

|Kj(x,y,z)|‖a‖Lip1(|x-y|+|x-z|+|y-z|)-2n,

2.1 定理1的证明

对交换子[Tσ,a]j(j=1,2)做如下分解:

由引理2, 有

下面估计I2. 设x∈B,y∈(2B)c,z∈2B, 注意到

|x-y|+|x-z|+|y-z|～|x-y|+|x-z|≥|x-y|,

由引理1和引理2及Hölder不等式, 有

因此

对于I3, 类似于I2的估计, 易得

最后估计I4. 设x∈B,y∈(2B)c,z∈(2B)c, 注意到

|x-y|+|x-z|+|y-z|～|x-y|～|x-z|,

(2)

由引理1和Hölder不等式, 得

因此

综合上述估计, 可得‖[Tσ,a]j‖Lp,w‖a‖Lip1‖f‖Lp1,w1‖g‖Lp2,w2(j=1,2). 定理1证毕.

引理3[20]若b∈BMO(n), 则对0

2.2 定理2的证明

类似定理1的证明, 有

这里只证明i=1的情形,i=2的情形类似. 对I1, 由引理2有

下面估计I2. 将I2分解为

I2,

设x∈B,y∈(2B)c,z∈2B, 注意到|x-y|+|x-z|+|y-z|～|x-y|, 由引理1和Hölder不等式得

从而由引理3, 有

同理, 有

因此,

于是得I2的估计:

与I2的估计方法类似可得I3的估计:

最后估计I4. 将I4分解为

I4.

设x∈B,y∈(2B)c,z∈(2B)c, 注意到式(2), 应用Hölder不等式, 得

从而有

综合上述估计, 有‖[[Tσ,a]j,b]1(f,g)‖Lp,w‖a‖Lip1‖b‖BMO‖f‖Lp1,w1‖g‖Lp2,w2. 定理2证毕.