用“问题提出”测量学生的数学学业成就

/谢圣英 何煜煊

近年来，“问题提出”越来越受到研究者的关注，其研究成果也不断地推动教师将问题提出活动更多地运用到数学课堂教学中。［1］目前，学生的数学学业成就几乎全是通过让学生解决问题（俗称解题）来测量的。但是，研究者们发现学生问题解决成功与否和他们问题提出能力是联系在一起的［2］－［4］，让学生提出问题甚至可以提供更多的关于学生数学学习的有用信息。［5］当然，需要指出的是，我们这里的“问题提出”是指“学生能够根据给定的问题情境提出问题，而对提问者是否能解答此题不做特别的要求”。

一、问题提出能力与问题解决能力密切相关

基尔帕特里克认为问题提出者所提问题的质量，在一定程度上可以表征其相应的问题解决能力，并对此做了理论性论证［6］。另外一些研究者则开展了一系列实证研究来探究问题提出能力与问题解决能力之间的关系。如伊勒顿（Ellerton）发现数学水平高的学生所提出的问题相对水平低的学生，运算更为复杂，涉及的数系更广泛，解答步骤更多；同时，他还发现高水平的学生在提出问题和解决问题两个方面都优于低水平的学生。［7］类似地，西尔弗和蔡金法他们发现初中生在问题解决上表现较为出色的学生能够提出更多、更复杂的数学问题。［4］

如果说上述发现仅是针对某一个国家或地区的学生，那么蔡金法和斯蒂芬则在他们的研究中加入了跨文化元素。［8］他们选取了98名美国六年级学生和155名中国六年级学生，设置了3套情境相同的问题提出和问题解决测试任务。结果发现中美学生都能够提出多种多样的问题，美国学生比中国学生能够提出更多的拓展型问题。与美国学生相比，中国学生的问题解决和问题提出之间联系更密切。此外，蔡金法等还从另一个视角研究了问题提出和问题解决的相关性，即通过测试问题提出能力来考察不同课程对学生学习的影响；研究者也设置了两套数学情境相同的问题提出和问题解决测试任务。结果发现学习不同版本课程的学生，答题正确率越高，越能够提出有效的问题，反之亦是。［3］

以上这些研究表明，不同国家和地区、不同数学课程下的学习者，他们的数学问题提出能力与问题解决能力之间都存在着密切的联系。通过测量学生的数学问题提出能力来考察他们的数学学业成就具有一定的科学研究基础。

二、用问题提出测量学生数学学习成就的优势

数学问题提出是一个特别有用的工具，可以用来了解那些解决常规问题快速而准确的数学天才学生。因为通过研究他们提出问题的细节和风格，可以更清晰地知晓学生的数学经验和思考。［7］数学问题提出的难度和新奇程度是没有限制的，没有上限也没有下限。同样的情境下，数学天才学生能提出数学问题，数学薄弱的学生也能提出数学问题，这也正是数学问题提出的优势所在。通过它，我们能了解数学问题解决所不能了解到的学生思维状况。

例如，科茨欧珀罗斯和科迪利用问题提出作为一种形成性评价来测量7年级学生的数学学习进步情况。此外，问题提出给予学生一种绘制自己学习路径的感觉。［5］学生提出的问题与他们即将学习的内容联系起来，学生可以获得更多的学习乐趣和动力。

数学问题提出同样可以用来考察学生数学内容知识的学习情况，包括判断数学知识的掌握和理解程度。有研究者让学生完成3道问题提出任务以及50道改编自《美国国家教育进展评估（NAEP）》的数学题目作为数学测试。他们发现上海和美国微积分先修的学生都没有提出多少概率问题，因为这两部分学生都还没有学概率数学知识。上海组学生才学完数列，所以他们觉得第三个和数列相关的问题提出任务比较容易。这表明学生的数学内容知识会影响到他们提出问题包含的数学思想的多样性。如果没有学过相关数学概念，学生通常就不能提出相关的问题。［9］提卡和荷西培索瓦曾用问题提出作为诊断工具来测量职前小学教师的“分数”内容掌握情况，发现他们对“分数”概念的理解有瑕疵，对一些容易引起混淆的地方处理不当。［10］

三、用问题提出测量数学学业成就的案例

下面我们分享一个用问题提出来评价学生学业成就的具体案例——用问题提出测量课程对学生学习的影响。［3］

1.任务设置。

该案例设计了两项任务——方程组任务和图表任务，每一项任务都包含问题提出和问题解决两个部分。第一项方程组任务中，问题解决部分呈现了一个二元一次方程组，两个方程式均为标准形式Ax+By=C，学生可以用任何方式来解答该方程组；问题提出部分要求学生设计一个基于现实生活情境的问题，且该问题可以用上述给定的方程组来解答。

（1）解下列方程组。

答案：x= y=

（2）详细写出一个基于现实生活情境的问题，要求该问题可用上述方程组解答。

第二项图表任务中，问题解决部分呈现了一个带网格的平面直角坐标系，并且坐标系中有一条射线，要求学生基于所给的图形写出一个函数表达式（限定条件：x≥0）；在问题提出部分，学生需要设计一个基于现实生活情境的问题，且该问题可以用上述给定的图形来表示。

根据右图1回答问题。

（1）写出一个函数表达式（限定条件：x≥0）。

（2）详细写出一个基于现实生活的情境，并且该情境可以用上图表示。

（图1）

2.数据编码。

研究者将学生所提出的问题从5个维度来考察（见表1）：学生是否努力进行问题提出，其所提问题的有效性，是否基于现实生活情境，是否反映线性关系，以及所提问题中符合所提供情境的条件个数（具体实例见表2）。在对问题解决任务进行分析时，只关注于解答的正确与否。

表1 问题提出任务的编码方式

表2 问题提出中符合所提供情境的条件个数的具体实例

方程组任务考察了学生对方程式中变量概念的理解；学生需要理解当方程式中的变量取值发生改变时，因变量取值会跟着有所变化，这即自变量与因变量之间的一种函数关系。此外，学生还应当理解每个方程中变量的单位之间的关系。在图表任务中，学生的程序性和概念性知识得以考察。要求学生找到图形的方程，然后提出一个可以由这个图形表示，有现实生活背景的问题。具体来说，它测量了学生对线性方程和图象两者之间关系的理解；学生如何在所提的问题中展现出当一条直线指向右上方时，越往右，则数值越大；还有学生如何理解y轴上的截距在现实生活中的含义，如何理解成比例、线性非成比例以及非线性三者在现实生活中的含义；在x与y之间的函数关系上，要求学生懂得x与y并非简单地作为占位符使用，它们之间在数量上具体地联系在一起。总之，通过图表任务，学生对函数中变量的理解得以充分的考察。

本案例中，美国11年级学生问题提出任务的回答情况如表3，表中数据是各种特征下学生人数的百分比。图表任务中，大约三分之二的学生尝试提出问题，而方程组任务中，只有大约三分之一的学生尝试提出问题。两个任务都只有小部分学生提出了有效问题。提出至少符合一个条件的问题的学生不足20%。研究者发现那些能够提出基于生活情境的问题，能在图表任务中提出反映线性关系问题的学生，通常也在问题解决中表现优异。整体上看，学生提出问题的水平不高，也与他们问题提出的经验不足有关。［10］这是研究者使用本案例中的任务，选取美国学生作为样本测量出的结果。

此案例通过测量被试学生的问题提出能力来考察他们的数学学习成就。结果发现，在问题提出上有出色表现的学生同样具有较强的问题解决能力。而另一方面，从学生的问题提出能力在一定程度上可以反映他们的知识技能的掌握程度。如果对中国学生进行类似的问题提出测量，情况是否类似呢？我们期待一线教师可以结合不同的数学内容来进行问题提出的任务设计，做一些相关的问题提出的测量研究和开发。

表3 学生的问题提出任务回答情况（百分比）

四、反思与展望

用问题提出测量学生的数学学业成就拥有很多优势，为何在中国还几乎没有实践过，即便在国外，也大多只用于评估学生的数学学习能力？问题提出目前之所以没能成为一种较为通用的数学学业成就评价方式，的确是由于它还有一些困难亟待克服。其中一个主要困难在于它的评判标准较难统一。问题提出不同于问题解决的测量，后者只需要对问题解答的过程和结果正确与否给予判断，而对问题提出的测量需要对所提的问题进行质性分析。迄今为止，我们仍没有一套得到大家普遍公认的客观评判标准。有学者强调需要为学生制定审美标准（aesthetic criteria）来判断所提问题的数学质量。开发这样的标准和倾向并运用它们，这是问题提出可以测量学习成果的经验先决条件之一。［11］

另一个原因在于，用问题提出测量学生的学业成就的设计较为专业和复杂。首先要设计一系列的任务情境，其中要包含让提问者进行问题提出所需的素材，这些任务情境必须涵盖所要测量的目标和数学知识内容体系。然后再加上评价标准的设计，包括编码分析。只有完成了这两项任务，才能对学生进行数学学业成就的测量和评价。多数已有的编码都偏向质性化方法。譬如，前文所提供的案例中，对被试学生所提出的问题编码时，研究者首先将问题按照数学问题与非数学（不相关）问题进行分类，主要从提出的问题是否与所给定的情境相符的视角出发展开分析，这就是更偏于质性研究的方法。此外，大多数研究者为了深入了解问题提出者的思维过程，会在研究中采用访谈法。由于访谈法相对更费时、费力，而且对使用者的要求也比较高，所以，如果要将问题提出作为一种评价方式，广泛地运用到教学实践当中，我们还需要克服一些困难。比如，进一步简化问题的编码，教师也需进一步提升自己的实际操作能力。

总之，用问题提出能力来测量学生的数学学业成就是可行的。研究者和教师可以通过学生所提出的数学问题来了解他们对数学知识的理解及掌握情况。现阶段，虽然与问题提出有关的研究多数立足于研究者的角度，其中的任务设置与数据编码较多也仅局限于研究领域，但问题提出仍不失为一线教师可以借鉴的一种有效的学生数学学业成就评价方式。教师可以用问题提出考察学习者对数学知识掌握的情况，把它作为一种有益的补充，融入日常的测评中。作为一线教师，需要思考如何让学生积极地参与到问题提出的活动中，作为引领者的教师如何设计此类活动，相应的课堂应该是怎样，以及应该制定怎样的标准来评价学生的问题提出能力。这些也是今后问题提出相关研究需要进一步关注和解决的重要论题。