数学思想在教学中的运用

徐金凤

摘 要 数形结合思想，分类讨论思想，转化思想，比较思想，假设，演绎思想等。

关键词 数学思想 教学中的运用

中图分类号：G623.5 文献标识码：A

今年，我有幸参加六年级数学教学。经过一年的教学，我发现六年级数学教学和中学教学思维有很大区别。

六年级是中小学的一个过渡阶段，也是学生创造性探索学习的起步阶段，这就确定了我们总的教学方向——培养学生自主地发现问题，创造性地解决问题的能力。六年级与五年级最大区别是六年级是小学与初中的衔接时段，具有特有的过渡性，这就决定这个阶段的教学要兼顾小学基础的积累和初中能力的提升。从几何教学内容来看，四至六年级的要求主要是让学生掌握图形的变换和位置，而七至九年级就上升到图形与坐标，图形与证明。因此，我们在教学时要突出培养学生的发散思维能力。

数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中，数学思想方法对于打好基础和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势，它是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。因此，在数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。从初中阶段就重视数学思想方法的渗透，将为学生后续学习打下坚实的基础，会使学生终生受益。

所以在初中数学教学中，渗透数学思想很重要。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。以下是初中数学教学应渗透的一些思想方法：

1数形结合思想

一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。

数形结合在各年级中都得到充分的利用。例如，点与圆的位置关系，可以通过比较点到圆心的距离与圆半径两者的大小来确定，直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定，圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆圆心的距离与两圆半径之和或之差的大小来确定。又如，勾股定理结论的论证、函数的图象与函数的性质、利用图象求二元一次方程組的近似解、用三角函数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现。再如，有理数的加法法则、乘法法则，不等式组的解集的确定都是利用数轴或其它实图归纳总结出来的；实践与探索中行程问题教学，经常是利用线段图解的方法来引导学生分析题中的数量关系。例如：八年级上册课本中有这样一题：已知一次函数Y=X+m和Y=-X+n的图像都经过A（-2，3）点，且与Y轴分别交于B、C两点，求三角形ABC的面积。在解这题时，分别用到代入消元法，把（-2，3）代入，分别求出m=6，n=2，然后再画出Y=X+m和Y=-X+n的函数图像，找出A、B、C三点的位置，再利用三角形的面积等于椎讇赘撸瑎？？=4，才能解题。在解题过程中用到了函数思想，数形结合思想。这题对学困生来说比较困难，同时对大多数学生具有一定的挑战，当他们成功解决问题时，带来了成功的喜悦，学生有了成就感，就有了自信。

在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。同时，数学中的分类讨论思想也屡次出现，锻炼学生思考问题要从多角度考虑，不能只从一方面去看，因为现实生活中有很多问题都该从多角度看。

2分类讨论思想

分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。

如，在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。为了验证这个猜想，教学时常将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点，这时可能出现三种情况：（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部。验证时，要分三种情形来说明，这里实际上也体现了分类讨论的思想方法。还有，对三角形全等识别方法的探索，教材中的思考题：如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，那么有哪几种可能的情况？同时，教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论，由简到繁，一步步得出，教学时要让学生体验这种思想方法。

转化思想在中学阶段也经常用，我认为它是化繁为简，化难为易，化未知为已知，化高次为低次等来解决问题的一种思想方法。在教学中也常常用到。

3转化思想

转化思想是数学思想方法体系的主梁之一。在实数的运算、解方程（组）、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对转化思想方法的认识，学生有意无意接受到了转化思想。如已知（x+y）2=11，xy=1求x2+y2的值，显然直接代入无法求解，若先把所求的式子转化到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，则易得：原式=9；又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决，这都是转化思想在实际问题中的具体体现。再如解方程（组）通过“消元”、“降次”最后求出方程（组）的解等也体现了转化思想；转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。转化的手段是多种多样的，其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。如在加法的基础上，利用相反数的概念，化归出减法法则，使加、减法统一起来，得到了代数和的概念；在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出除法法则，使互逆的两种运算得到统一。又如，对等腰梯形有关性质的探索，除了教材中利用轴对称方法外，还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法，把等腰梯形转化到平行四边形和三角形的知识上来。

除此之外，很多知识之间都存在着相互渗透和转化：多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三角形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答……

4比较思想

所谓比较，就是指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别。比较是一切理解和思维的基础，随着学习的不断深入，学生要掌握越来越多的知识，这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系。

例如，在因式分解的教学中，通过复习整式乘法，让学生比较这两种运算的异同，明确因式分解与整式乘法是恒等变形，又是互逆运算。如（a+b）（a-b）=a2-b2是整式乘法，a2-b2=（a+b）（a-b）是因式分解。在不等式的解法教学时，可以对比一元一次方程解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1这些步骤是一样的。当然，要特别比较化系数为1时两者的不同之處。又如，全等三角形是相似三角形在相似比为1时的特例，两个三角形相似和全等有它特定的内在联系，因此，全等三角形的识别方法可以类比相似三角形的识别方法。再如，轴对称图形、旋转对称图形、中心对称图形是意义不尽相同的概念，通过类比可以发现它们之间的异同，从而加深对这几个概念的本质属性的认识。

5假设思想

假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法。利用这种思想可以解一些填空题、判断题和应用题。有些题目数量关系比较隐蔽，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手。可先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使得要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

6演绎思想

演绎也是理智的活动，但是和直观不同，它们不是理智的单纯活动，必须先假定了某些真理（或定义）之后，然后再凭借这些定义推出一些结论。譬如：我们知道了三角形的定义和定理之后，可以推出一个三角形内角的总和等于两直角之和。所以直观的功用是在于提供科学和哲学的最新原则。而演绎则是应用这些原则来建立一些定理和命题。演绎并不要求像直观所拥有的那种直接呈现出来的证明，它的确实性在某种程度上可以说是记忆赋予它的。它通过一系列的间接论证就能得出结论，这就像我们握着一根长链条的第一节就可以认识它的最后一节一样。这就是说，直观是发明的基本原则，演绎是导致最基本的结论。不过也有哲学家认为演绎是有缺陷的，因为由同一个原则往往会演绎出不同的结论，所以应当有另一个方法来纠正它。这个纠正的方法就是经验，即所谓的诉诸事实。总之，直观就是找到最简单、最无可怀疑、最无须辩护的人类知识元素，即发现最简单和最可靠的观念或原理。然后对它们进行演绎推理，导出全部确实可靠的解决方案。例如数学定理证明就是一种演绎推理。

总之，数学思想有利于学生成长，从多方面锻炼一个人的思维。在教学中，要多运用。因为数学来源于生活，又服务于生活。在数学教学中，只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想，同时注意渗透的过程，依据课本内容和学生的认知水平，从七年级开始就有计划的渗透，就一定能提高学生的学习效率和数学能力。