使用“基本不等式”解题时易错点分析

摘 要：作者结合多年的教学实践，在阐述基本不等式内容的基础上，阐述了基本不等式解题的易错点，然后典型例题分析了基本不等式的正确解法，以期为学生提供些许指导。

关键词：基本不等式；易错点；解题方法

基本不等式是高中数学的重要内容，许多函数最值、较为复杂的不等式、数列极限等问题都能找到基本不等式的影子，并通过使用基本不等式的性质来得到解答。基本不等式内容简单，但变式多样，而且在满足特定限制条件，即“一正，二定，三相等”时才能够使用，许多学生由于对基本不等式的使用条件理解不透彻，导致做题过程中出现错误。

一、 基本不等式的内容

（一） 基本不等式：a+b2≥ab

成立条件：a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号。

（二） 利用基本不等式求最值问题：

已知x>0，y>0，则

1. 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p。（简记：积定和最小）

2. 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p24。（简记：和定积最大）

这三个条件简称为“一正，二定，三相等”。

二、 典型例题剖析

（一） 忽视“一正”条件

例1 求函数f（x）=x+3x的最值。

错解：此式x与3x的积为定值3，因此根据积定和最小可知，

f（x）=x+3x≥2x·3x=23，所以函数的最大值为23。

错因：忽视了使用基本不等式时“一正a>0，b>0”的条件。

正解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x>0时，根据基本不等式可得：

f（x）=x+3x≥2x·3x=23，当且仅当x=3x，即x=3时，取等号；

当x<0时，-x>0，所以f（x）=x+3x=--x+（-3x）≤-2-x·-3x=-23，

只有当-x=-3x时，也即x=-3才能相等。

所以函数的最大值是23，最小值是-23。

现场纠错：1函数y=8-x2-2x（x>0）的最大值是 。

（二） 忽视“二定”条件

例2 若正数x，y满足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）

A. 245 B. 285

C. 5 D. 6

错解：由基本不等式：x+3y≥2x·3y=23xy，所以5xy≥23xy，解得xy≥1225，则3x+4y≥23x·4y≥212×1225=245。

所以选A。

出错原因：只有满足x和y为固定值的时候才能运用基本不等式，解题者忽视了这一条件，因此导致解题出错。

正解：因为x>0，y>0，由x+3y=5xy，得151y+3x=1。所以

3x+4y=15（3x+4y）1y+3x=135+153xy+12yx≥135+15×23xy·12yx=5。

只有当x=2y时取等号，所以3x+4y的最小值是5。选C。

现场纠错：2已知a>0，b>0，且a+b=1，求1a+2b的最小值。

（三） 忽视“三相等”条件

例3 已知函数f（x）=x2-2x+ax，x∈（0，2]，其中常数a>0。求函数f（x）的最小值。

错解：f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，当且仅当x=ax，即x=a时取等号。所以函数f（x）的最小值为2a-2。

错因：没有考虑x=a是否能够成立。

分析，因x∈（0，2]，所以只有当0

f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，当且仅当x=ax，即x=a时取等号。当0

当a≥2，即a≥4时，f（x）在（0，2]上单调递减，所以当x=2时，

f（x）取得最小值为a2。

综上所述：当0

现场纠错：3若函数f（x）=x+1x-2（x>2）在x=a处取得最小值，则a= 。

三、 结束语

上述情况为基本不等式常见的错误，错解的原因往往是考虑情况不到位，忽视常数的取值范围而直接去套用公式。因此学生一定要深刻理解“一正，二定，三相等”的本质含义和适用条件，做到解题时游刃有余。

参考文献：

[1]袁红.“基本不等式”教学设计[J].中国数学教育，2015（04）.

[2]孙传平.运用基本不等式的三原则七策略[J].数学通讯，2014（11）.

作者简介：

黄翠花，陕西省渭南市，渭南市杜桥中学。