浅谈简单指对数方程教学中的“其然”与“所以然”

杨心丹

【摘要】立足学生数学能力的培养，把“解简单的指对数方程”作为方程教学的一只麻雀进行解剖.从函数的角度，挖掘问题的本质，发展数学思维，拒绝落后老套的模式化教学，务实教学，使学生的数学能力获得内涵式发展.

【关键词】指对数方程；转化

数学新课程标准有明确的表达术语，用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述学习活动结果目标的不同水平，使用“经历、体验、探索”等术语表述学习活动过程目标的不同程度.

其中，新课程目标术语“了解、理解、掌握”，这些词的基本含义解释依次如下.了解是指从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象.理解是指描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系.掌握是指在理解的基础上，把对象用于新的情境.

在高中数学教材必修一，指数与对数函数的单元中，对简单的指对数方程的教学要求是掌握简单的特殊类型指数方程和对数方程的解法，其解决的基本思想是将它们化成代数方程来解.掌握简单的指对数方程的解法，使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想.简单的指对数方程是本单元教学的重点与难点，也是使学生学会研究问题的方法，学会学习的很好教学素材.

在实际教学中，对此重难点的突破存在的障碍较多，表现在，对数函数学生首次接触，学生对该节内容有很强的陌生感，增加了认知难度；相对于学段任务配给的教学时间并不充分，沉重的教与学的压力不能使该段内容的教学活动做到细致入微；分数竞争中的学生因本内容的高付出低获得、教参中“简单基本”的词意暗示，也使师生的教学在此处浅尝辄止或望而却步……这些都导致学生对此知识点能力结果的形成上，以模仿记忆的行为为主要特征.失去理解的记忆自然难以形成能力，记忆也不长久，因此，就发生了在高一时做这道题，讲这段的内容，到高三高考复习时，依然做这道题，讲这段的内容，学生的感觉没有发生太多的质的变化.

“知其然而不知其所以然”出自梁启超《论小说与群治之关系》，意思是只知道事物的表面現象，不知事物的本质及其产生的原因.从教学目标术语“了解、理解、掌握、运用”，再看现实中大多数学生的表现，看课标教参的要求，就知道关于这节的教学工作没有做到位.数学学习充满逻辑，也充满类比，忽略了数学的本质而过度的模仿，只能解决一时而非一世，这并不夸张，甚至与“教书育人”格格不入.教学并非面面俱到，但以点带面，做精做细一事，才有可能触类旁通，哲学上称作“解剖一只麻雀”.简单的指对数方程就是提供给教学的那只最好、最完整的麻雀.要在简单的指对数方程这一数学问题上下足功夫，让学生切身感受“知其然且知所以然”的过程.有必要设计系列的数学问题，为学生的深入理解铺路.

指数函数的定义域为R，等式化归时不须附加定义范围的限制条件，对数函数则不然，这是解指对数方程时两者在化归时较为鲜明的区别，也是解对数方程时丢掉条件限制时产生增根的原因，限制也是解方程或不等式在化归时容易忽视的一个重要内容.在某些教辅材料内，（2）与（3）命名为同底法解简单的指对数方程.本质是依据函数单调性理论转换为同一函数，函数值相等则自变量值相同，将原方程转化为更简单的方程.

数学的课堂是开放的，研究问题的同时，提醒并告诫学生，要辩证地看问题.化成同底是解答简单指对数方程方法中的一种，强调化成同底是一种由繁到简的化归思路，从题出发，把握构造同底数函数这一重要环节.解题时，并非只有以上这一种思路，思路可以拓展，思路行不通时要学会变通和改变.

解不等式的过程也是方程思想的具体应用，不等式的求解是在函数单调性的条件下，将函数值的大小顺序与自变量值的大小顺序间的逻辑转化，实现不等式朝着求解的方向进行化归，且在化归的过程中遵守问题本身该有的限制条件.简单的指对数不等式求解也遵循这一原则.

解简单的指对数方程（不等式）注重同底的化归是本节教学的难点，指明应该这样做，属于“其然”的范畴.把握并理解应遵循的函数单调性本质，数学思想方法的具体体现，是本节教学的重点，它回答了为什么这样做的根据理由，是真正的“所以然”.知其然且知其所以然才能使教学富有活力，“解剖一只麻雀”后，教学才经得起时间的推敲和打磨，数学本身蕴含的思想和方法才能产生育人的价值.