巡航导弹高度跟踪制导律研究

李晓龙，张顺家，李 勇，毕 鹏，尹 航

（上海机电工程研究所，上海，201109）

0 引 言

在现代战争条件下，精确制导的巡航导弹已经成为进攻和打击敌方目标的重要手段［1］，其具有突防能力强、射程远、飞行轨迹灵活和命中精度高的特点。为实现上述打击能力，通常采用航迹规划的方法，跟踪预先制定好的飞行规律实现自主式飞行。为了提升导弹攻击距离，弹道中段往往采用预设高度规律的巡飞弹道飞行；考虑到巡航导弹的突防高度和巡航导弹作战效能大小密切相关［2］，在进入敌方防空体系范围后，为了提高作战效能，首先采用超低空飞行的弹道方案，充分利用地球曲率带来的视距限制减小被敌防空雷达发现的距离，并在弹道末端采用“跃升俯冲”的方式攻击目标。在以上飞行弹道方案中，导弹的飞行高度均需按照高度指令变化。为保证导弹在不同飞行阶段均能按照设定的高度规律飞行，需要设计相应的控制指令，实现导弹飞行高度的精确控制。改变导弹的飞行轨迹通常通过控制导弹产生相应的过载来实现。

文献［3］提出了自抗扰高度控制规律设计方法，文献［4］采用鲁棒伺服最优控制方法设计了基于角速率的高度控制律，文献［5］采用有限时间控制方法设计了高度控制模型。本文首先建立导弹运动模型，在此基础上分别推导了两种实现导弹高度跟踪的制导律，将期望的飞行高度转换为过载指令，并利用阶跃和正弦两种形式的高度指令开展了数值仿真对比分析，结果表明两种制导律均具有良好的响应快速性和稳态跟踪精度。目前，所设计的制导律已得到工程应用的验证。

1 导弹运动学模型

导弹在三维空间的运动可以用式（1）方程组［6］表示为

为分析方便，只研究导弹在纵向平面内的运动。导弹在纵向平面内的运动可在弹道坐标系中表示为

2 高度控制指令模型

2.1 基于二阶无静差系统的制导律

导弹预定的飞行高度规律为

导弹实际飞行高度为H（t），则高度误差为

对式（2）中第二、三式及式（3）分别求两阶导数，可得

则

则可得到关于高度跟踪误差的二阶无静差系统为

变形后为

通过选取合适的阻尼比ξ和自然频率ωn，即可调节式（9）所描述二阶系统的动态响应性能，使系统具有适度的阻尼特性、较快的响应速度和较短的调节时间，从而实现满足某一性能要求的飞行高度跟踪控制［7］。

高度控制指令最终形式为

若导弹等速巡航飞行，则可对上述制导律进行简化，可得

2.2 基于速度补偿的制导律

基于速度补偿的制导律设计思路如图1所示。图1中M为导弹当前时刻的位置，速度为V，弹道倾角为θ；虚线为导弹期望飞行高度Hf，变化规律为Hf＝H＊（t）。为控制导弹按照期望高度规律飞行，首先需要消除高度误差ΔH，可将高度误差转化为对飞行弹道倾角的需求θc1；同时为实现稳定跟踪，可将由于期望高度变化率引起的飞行弹道倾角的需求θc2补偿至θc1，最终实现高度误差的消除和高度的跟踪。

实际飞行过程中，导弹的飞行高度与期望高度会存在一个偏差ΔH，可通过控制此偏差至零或小量实现高度的跟踪。高度偏差控制过程为长周期过程，可在tΔH时间内按照线性规律控制高度偏差ΔH至零，则可得到其平均速度需求为

同时期望高度Hf为时间的函数，将式（3）求导，令

图1 基于速度补偿的高度跟踪制导律Fig.1 Guidance law based on velocity compensation

平均速度需求Vyc可转化为对飞行弹道倾角的需求θc，则速度补偿后的弹道倾角需求θc为

则导弹实际飞行弹道倾角与期望弹道倾角的偏差为

令期望弹道倾角变化率与Δθ成比例关系，则有

式中：kΔθ为比例系数。

将式（2）中第二式变形，可得指令模型计算方法为

综合式（12）～（18），基于速度补偿的制导律可表示为

3 数字仿真分析

本章对前文所设计的两种高度跟踪制导律进行数值仿真，对比分析在阶跃和正弦曲线两种典型的高度指令作用下，所设计制导律的响应快速性、稳态误差、过载需求等性能。

3.1 阶跃高度指令

仿真条件：导弹初始飞行状态为保持6 000 m高度平飞，随后按照阶跃高度指令飞行至3 000 m高度并保持，导弹纵向合成过载限幅值为10 g。

数值仿真分析结果见图2～6所示，其中制导律1为基于二阶无静差系统的制导律，表达式见式（11）。制导律2为基于速度补偿的制导律，表达式见式（19）。

图2 导弹高度（阶跃高度指令）Fig.2 Missile height（step height instruction）

图3 导弹高度跟踪误差（阶跃高度指令）Fig.3 Tracking error of missile height（step height instruction）

图4 导弹高度变化率（阶跃高度指令）Fig.4 Changing ratio of missile height（step height instruction）

图5 导弹高度变化率跟踪误差（阶跃高度指令）Fig.5 Changing ratio of missile height tracking error（step height instruction）

图6 导弹过载（阶跃高度指令）Fig.6 Missile overload（step height instruction）

由图2～6可知，在阶跃高度指令条件下，两种制导律均能实现高度的快速调整并稳定跟踪，高度跟踪误差和高度变化率追踪误差均能在较快时间内收敛至零值附近；制导律1调节时间ts为13.95 s，制导律2调节时间ts为14.77 s，基于二阶无静差系统设计的制导律响应更快；在高度调整过程中，制导律1需用过载变化较为剧烈，对导弹过载响应快速性要求较高。

3.2 正弦高度指令

仿真条件：导弹初始飞行状态为保持3 000 m高度平飞，随后按照正弦高度指令飞行，导弹高度指令为 H＊（t）＝3 000＋1 000×sin（98π／180×t）。

数值仿真分析结果见图7～11所示，其中制导律1为基于二阶无静差系统的制导律，制导律2为基于速度补偿的制导律。

由图7～11可知，在正弦高度指令条件下，两种制导律均能够实现稳定跟踪，但存在一定的稳态跟踪误差。制导律1在其调节时间后出现的最大高度跟踪误差为0.5 m，最大高度变化率跟踪误差为0.2 m／s；制导律2在其调节时间后出现的最大高度跟踪误差为106.5 m，最大高度变化率跟踪误差为14.5 m／s，基于二阶无静差系统设计的制导律稳定跟踪误差较小；在飞行全过程中，两种制导律需用过载相当。

通过上述对比分析可以看出，本文所设计的两种高度跟踪规律均能够稳定跟踪阶跃和正弦形式高度指令，但两者在过载需求、响应时间及稳态误差控制等方面存在一定的差异。此外，与制导律2相比，制导律1解算过程中还需要高度指令的二阶微分项信息，而在地势跟踪等应用场景中上述信息往往难以直接且准确地获取。

在实际工程应用中，可以结合导弹自身的特点灵活选择上述两种规律：若导弹响应快速性好且对飞行高度控制的快速性和跟踪精度要求较高，则优先选择制导律1，否则可以选择制导律2。

图7 导弹高度（正弦高度指令）Fig.7 Missile height（sine height instruction）

图8 导弹高度跟踪误差（正弦高度指令）Fig.8 Tracking error of missile height（sine height instruction）

图9 导弹高度变化率（正弦高度指令）Fig.9 Changing ratio of missile height（sine height instruction）

图10 导弹高度变化率跟踪误差（正弦高度指令）Fig.10 Changing ratio of missile height tracking error（sine height instruction）

图11 导弹过载（正弦高度指令）Fig.11 Missile overload（sine height instruction）

4 工程应用算例验证

首先分析在阶跃和正弦形式的高度指令作用下两者的性能特点，随后通过两个型号工程应用算例进一步验证其有效性和实用性。

4.1 算例1－基于二阶无静差系统的制导律应用

某型导弹为空中发射对地攻击的远距巡航导弹，导弹全过程可用过载大于20 g，且导弹具备快速过载响应

图12 导弹飞行高度（算例1）Fig.12 Missile flying height（example 1）

可以看出，基于二阶无静差系统的制导律能够快速实现导弹飞行高度的大范围调节，跟踪误差小，全程最大需用过载不超过20 g。

4.2 算例2－基于速度补偿的制导律应用

假设某型导弹可用过载不大于4 g，可用攻角不大于10°，导弹过载响应较慢，按照飞行弹道要求，其需能力。其典型飞行弹道为：导弹发射后，迅速爬升至最优巡航高度，保持巡航飞行；进入预定空域后，快速完成飞行高度下降，保持低空巡航飞行；在接近目标后拉起弹道，之后进入末制导俯冲攻击段。仿真中导弹的实际飞行高度通过文献［8］提供的算法进行解算。

依据上述弹道需求可知，导弹飞行过程中高度调整范围大，调整时间短，而导弹具备快速过载响应能力，因此采用基于二阶无静差制导律实现导弹飞行高度的控制。

图13 导弹过载（算例1）Fig.13 Missile overload（example 1）

仿真计算结果如图12～13所示。在完成初始弹道调整后，以指数形式高度指令爬升至预定高度，随后按照设定高度巡航飞行，接近巡航段末端后进行了一次向下机动，之后继续回到巡航高度。

按照上述飞行弹道需求，导弹在飞行过程中高度将经历多次变化，考虑到导弹过载响应较慢，故采用基于速度补偿的高度跟踪制导律实现导弹高度控制。

最终仿真结果如图14～15所示。

图14 导弹飞行高度（算例2）Fig.14 Missile flying height（example 2）

图15 导弹过载（算例2）Fig.15 Missile overload（example 2）

可以看出，利用本文设计的基于速度补偿的高度跟踪制导律，导弹能够快速准确响应指数、阶跃等不同形式的组合高度指令，很好地实现了飞行全过程的高度控制。

5 结束语

本文设计了两种实现巡航导弹高度跟踪控制的制导律，利用数值仿真对比分析了两者对典型高度指令的响应特点，并给出了其在工程研制中的实际应用算例。结果表明两种方法均能快速、稳定地实现对导弹飞行高度的跟踪控制，且实现简单，具有良好的工程应用价值。

此外，本文所提出的方法可以方便地扩展到横向平面内运动轨迹的跟踪控制，从而实现对导弹三维飞行轨迹的跟踪控制。