结构噪声核心价值与理论逻辑解读第三部分：WPA法与机理分析

吴崇建 ，雷智洋 ，吴有生

1中国舰船研究设计中心，湖北武汉430064

2船舶振动噪声重点实验室，湖北武汉430064

3中国船舶科学研究中心，江苏无锡214082

0 引 言

波传播分析法，也叫WPA法，是Wave Propa⁃gation Approach或Analysis的英文缩写。WPA法通过结构弹性波的物理、数学解析来描述结构噪声。该方法可最大限度地释放边界条件、外载荷及其他外部约束限制，融入Matlab强大的复矩阵计算功能，适合工程设计人员将其作为分析工具。

运载工具的高速发展促进了结构动力学的发展——从经典牛顿力学到结构动力学、振动学［1-2］和结构噪声［3-12］。新的复杂工程问题涉及分析模型的抽象、简化、边界处理，需要通过理论研究总结、归纳出系统的概念性、关键性和共同性的一般规律。研究方法归纳为2类：

1）解析法，如假设振型函数法、传递矩阵法、模态分析法、模态截断和模态综合法，模态阻抗综合法、模态柔度综合法、导纳法和动刚度综合法等，详见表1。

表1 解析法列表Table 1 List of analytical method

2）数值法，常用的数值法有限元法（FEM）、边界元法和统计能量法［13-15］。FEM中SAP，SAP5，Super-SAP等几乎已被遗忘，现在常用的是AN⁃SYS，ADINA和NASTRAN等大型计算软件。减振降噪作为小众专业，仍然出现了SYSNoise，Auto⁃SEA，VIOLINE等专业声学软件。

由此可见，似乎已有足够多的分析方法，为什么还要开拓新方法？实际上，解析法一直在面对新的挑战，特别是针对复杂工程结构和复杂边界方面，解析法往往难以适用，无法进行复杂系统的精确求解。例如，多支承梁解算时就不得不做出许多简化假设，Kojima等［16］在分析有限多跨梁的固有频率和振动模态时，需要假设梁跨超过3时它们必须是简支。Neubert［17］在分析悬臂梁加动力吸振器时，必须设定动力吸振器安装在梁自由端。Snowdon［18］在改进后，才得到动力吸振器安装在梁中点时的动力响应。Mead［19-20］在用周期理论分析无限长梁的能量流时，必须假设谐力作用在周期等跨梁的中点。而有限长度周期结构动力学特性分析依然是当时的难题，准周期结构分析难度更大［21］。

当今，数值方法几乎主宰了工程分析的全部。商用软件不断推陈出新［22-24］，尽管它们能够完成复杂工程问题的动力学分析，界面也更友好，但仍然存在功能覆盖不全面和同质化现象。数值法获得的结果是“个案”。在缺乏完整机理分析的情况下，它们多半只能视为穷举下的特例而非一般规律。

面对工程创新（如浮筏等），它们距理论分析的统一框架还很远，还存在一定的认知短板。浮筏不仅像双层隔振那样在筏架中存在能量耗散，还存在多激励源弹性波的抵消机制。解析法能否设置多源的初始相位或变化的相位？如何建模？用什么解析方法能够解析约束条件下振源的相互抵消机制而使衰减最大化？

针对上述问题，本文拟基于WPA法，从振动微分方程和弹性波的传播、反射视角解析结构噪声，以有限长简支梁为例具体说明用WPA法解析结构动力特性和机理分析的优势。WPA法结合Matlab强大的复矩阵计算能力，用振动方程精确解来保证求解精度，解决了系统边界、约束和协调条件无法全部满足的普遍难题，实现了各频点精确求解。WPA法物理概念清晰、深入，使研究者能够从表观参数（如振动加速度、插入损失等）进入内核参数（弹性波），深层剖析振动能量的注入、传导以及波与声辐射之间的因果关系，增加了新的结构噪声研究思维视角，适合工程技术人员开展深入的基础理论研究。

1 WPA法的数学描述

1.1 用双指数函数表达特征函数

以伯努利—欧拉（Bernoulli-Euler）梁为例，受载荷͂0(x，t)作用时，梁的横向位移可用振动微分方程描述［25-26］：

式中：EI为梁的抗弯刚度；͂(x，t)为梁的横向位移；ρ为材料密度；A为梁的横截面积。

令激励͂0(x，t)=0，得到梁的自由振动方程为

对式（2）进一步简化，将横向位移分离变量［27-28］，w͂=w(x)ejωt，得

式中：j为虚数单位；ω为角频率；kn为梁弯曲波的复波数。式（3）是梁弯曲振动齐次方程，其特征函数为

式中，An为4个指数函数的未知系数。

为了求出系统响应，必须解算出式（5）中的未知数An。它们可以通过边界条件和约束条件联立求解。将kn的实根记为k，则

共有4个不同的kn，分别是

因此，式（2）解的完整表达可以写为

式（8）是WPA法关于梁弯曲运动方程的一般表达式。它用双指数函数描述，第1项是空间相关项的指数函数，第2项是时间相关项的指数表达。该方程展开为

谐力在作用点两侧分别产生2种类型的弯曲波——行进波和近场波。式（9）中第1项和第2项为实数项A1ekx和A2e-kx，它们分别表示沿x轴负向和正向的近场波，也叫瞬逝波或衰减波。近场波并不传播，会迅速衰减并在局部区域发生波型转换。第3项和第4项为虚数项，A3ejkx表示沿坐标负向传播的弯曲波，A4e-jkx表示沿坐标正向传播的行进波，也叫传导波，是弯曲波，如图1所示。

WPA法的型函数具有双指数函数形式。过去也用指数函数对结构振动作解释性说明，WPA法将空间函数eknx这一传统表达保留下来予以发展，同时也保留了简洁性。

1.2 点谐力响应函数系数

如图2所示，假设梁上任意一点x=x0受外谐力p͂=p0ejωt激励，则无限长梁的横向位移控制方程为［5］

式中，δ(x-x0)为德拉克函数。由于梁无限长，根据结构对称性，在x=x0处激励可以平移到x=0处，这样便于方程求解，这时，梁弯曲振动响应的一般公式为

由于梁无限长，振动能量有限而且无反射波，因此需满足：当x≥0时，B=C=0；而当x＜0时，A=D=0。于是得到

式中：下标“+”表示坐标正方向；而下标“-”表示坐标负方向。因为无限长梁的对称性，横向位移在x=0 处斜率为 0，则有 ∂w͂(x，t) ∂x=0 ，于是得到

根据x=0处的受力平衡和对称性（加载点两边的剪力为p0/2），得到剪力平衡方程

结合式（13）和式（14），得到

将式（15）代入剪力平衡表达式（14），则有

那么在x=0处激励时，无限长梁的强迫振动表达式为：

将上述无限长梁响应的分段函数写成一致的形式：

根据平移原理，在任意点x=x0处激励无限长梁的响应函数为

令单位谐力p0=1，则式（20）可改写为

其中，

式中，a1和a2为无限长梁点谐力响应函数系数（弯曲波）。

受横向载荷后，梁产生弯曲振动位移，同时产生内部剪切力和弯矩。从弹性波的视角观察，梁的弯曲振动解本身是频散的，如图3所示。同时，由于特征函数是四阶微分方程，存在两种基本波动模态：一种是传播模态，另一种是耗散模态。

2 WPA法简支梁解析示例

以长度为L的简支梁（图4）为例，具体说明WPA法的解析过程。谐力͂0(x，t)会产生4个强迫波，弹性波在梁的两端因波的反射各自产生2个自由波。由线性假设和波迭加原理，强迫波和自由波构成梁的总振动方程。梁上任意一点x(0≤x≤L)的横向位移表示为［1］

需要注意的是，时间项 ejωt在式（23）中均被省略，所以特征解为单变量函数。为方便后面的公式推导，这里直接列出了振动位移对x的前3阶偏导数：

式中，(jf)为符号算子，

根据式（23）～式（27）以及欧拉梁力与位移的关系，在点力p͂0(x，t)作用下，激励点两侧梁的内弯矩和剪力表达式为：

上述各式中，

对于图5所示的长为L的简支梁，在横向外力p0的激励下，简支梁在梁的两端位移和弯矩等于0，于是得到

当w(0)=0时，由式（23）得

当M(0)=0时，由式（28）得

同样，当w(L)=0时，

方程（33）～方程（36）构成求解An的4个“瞬值”线性方程组，用矩阵形式表达为

和

线性矩阵方程组简记为

通过简单编程并将初始条件和输入参数代入，即可解算式（40），由此解析梁的模态频率、模态振型、强迫响应、波传播，并进行应力分析等。计算得到梁的模态振型和响应分别如图6、图7所示。

两端简支梁是最典型的梁结构形式，固有频率经典解析式如下［1］：

式中，下标n=1，2，3，…，N，表示梁的前N阶固有频率。WPA法与解析法求解的简支梁前5阶固有频率对比如表2所示。

由表2可见，两者的计算结果十分吻合。作者还对不同边界条件下的位移响应、动应力计算结果进行了比较，计算结果均到达了小数点后4位相同，一致性很好。限于篇幅，这里不一一罗列。

3 WPA法的特点分析

3.1 WPA法朔源

近几十年来，结构动力学分析更关注结构内核参数弹性波的研究［1，25］。它们都源于如式（42）所示的振动微分方程。

表2 WPA法解与经典解析法计算结果的比较Table 2 The comparison of natural frequencies between WPA method and analytical method

式（42）中，挠度͂是与坐标 (x，y，z)和时间t有关的函数，即͂=͂(x，y，z，t)。以简化的一维结构为例，这并不影响我们对更复杂结构的理解。令͂0(x，t)=0，得到等截面梁自由振动的齐次式（式（3））。对该式采用分离变量法，得到

对于式（43），如何找到一个空间函数w(x)使其同时满足振动方程和边界条件是关键。空间函数可以是级数、双曲函数或者三角函数，也可以是双指数函数等。对于式（42）和式（43），存在不同的解析途径，如图8所示。

1）模态分析法。它是解析法的一种典型解析方案，根据模态理论在模态坐标下求解。式（42）的特征解可表示为系统各阶主模态振型的线性叠加，即有

式中，wr(x)为模态振型；qr(t)为模态空间下的模态坐标。

式（44）用模态振型代替空间函数。数学意义上，它们是无穷个结构模态的线性迭加。

2）模态截断、模态综合法。模态分析法的缺点是计算量较大。如果进一步选择将结构的几个主模态，比如假设N=7而非∞代入，则式（44）进一步演进为模态截断、模态综合法，

用有限个模态数，可以较大地改善计算量和边界条件的符合性。但需要注意的是，式（45）是近似解，尤其在取较少模态个数时。

3）WPA法。它是式（42）的另一种解析途径。它对式（43）的特征解保留双指数函数，其特征解如式（8）所示。从前面的推导过程可以看出，WPA法与其他解析法一样，同样都源于振动微分方程，它们同出一宗。

但在满足边界条件方面，WPA法具有内在优势。在结构线性范围小幅波动情况下，将无限结构的谐力响应函数与有限结构的响应函数进行简单算术迭加，完成有限结构方程重构的一般表达。

3.2 WPA法的特点

在微积分中，指数函数ex的偏导数“本体”总是保持不变，无论多少次求导，其导数就像一个常量一样永远是恒定的。对于这个特性，西方人形容像切西瓜，无论你怎么切一个实心球，其横截面都是圆面。中国人的解释更有趣：就好像你切掉孙悟空的一部分，你以为是一小片肉，睁眼一看，居然是另一个孙悟空，而且一样大！指数函数表达给WPA法带来了一些新的特点：

1）物理概念清晰。

WPA法表述波的物理概念特别清晰。从弹性波视角研究结构振动，是从振动表观参数到结构内核参数的深化。行进波和近场波（或衰减波）用分项形式表示，更有利于区分波的传播和衰减（图9，其中虚线代表忽略近场波的运动，T为周期）以及它们在极近场的变化。这对研究近场波和远场波在结构“间断点”（定义为引起结构不连续的所有“障碍”）处的转换有意义，成为深入内核探讨结构动态特性的物理方法。

WPA法能够重新引起关注与其卓越的机理性分析优势分不开，例如解析浮筏，发现了“质量、调谐、混抵”3个效应［29］，其中关于多激励源弹性波的抵消机制是产生附加衰减的内在因素。现在，主动声、振动控制及功率流理论都在关注和应用WPA法。

2）适用于更多的边界约束。

许多解析法不能获得完美的解，皆因特征函数在“吻合”边界时，在大多数情况下仍然难以获得数学上的“匹配”。只有少数有限边界条件才符合振动模态良好的空间吻合。WPA法对边界条件具有较少的约束，几乎可以放宽到所有边界条件和约束条件。矩阵方程看似繁琐，但是它们非常有规律性，尤其当计算机软件具备了强大的复代数计算功能时，使稳态和瞬值求解过程中边界点、约束点、结构上的协调点（相容点）甚至各点每个频率上都可精确吻合。

3）可以引入阻尼。

阻尼通常会破坏结构在模态坐标下的正交性，这也是为什么在有限元法等方法中需要假定材料的阻尼为比例阻尼的原因，尽管它们与实际不符，也极大地限制了工程应用。在WPA法中，结构的阻尼可以通过复刚度EI*=EI(1+jβ)引入，其中β为阻尼耗损因子。对于不同的梁结构，可以引入不同的损耗因子，从而得到存在结构阻尼时系统的振动响应。

4）可以嵌入动力吸振器。

对动力吸振器与结构的动态耦合关系，可分解为质量弹簧系统对结构施加的一个动态力。它们是两个子系统之间的作用内力Fd，如图10所示。

动力吸振器的吸振质量随结构作简谐运动，施加给结构上的动反力为［1］。

其中

对粘性阻尼，

式（47）～式（49）中：md为吸振质量；Ktot为动力吸振器的等效刚度；为动力吸振器的复刚度；ς为粘性阻尼因子；w(xd)为安装动力吸振器部位的动位移响应，是待定未知数。从公式推导过程可以看出，对动力吸振器的数量、作用位置和阻尼类型并无限制。

5）便于加载各种外部系统。

各种外部载荷，如谐力、力矩等载荷和附加约束物（如阻振质量、弹性边界等）均可泛化为结构中的“间断点”，它们作为外部系统加入原结构系统，这些外部系统同样不受位置和数量的限制，如图11所示。图中，b，h分别为欧拉梁截面的长和宽。

这样就可以研究在加载多个外部系统时，结构中弹性波的相互干涉。WPA法对力源数量和相位均无限制。可以将随机函数random编入Matlab程序中，分析计算不同激励力初始相位或者变化相位情况下多个弹性波的抵消机制（图12），并应用统计方法计算平均能量。这相当于在系统中嵌入一个或多个信号发生器，使多激励分析成为可能。通过对不同激励源、不同谐频率、相位、幅值和辅机设备高次谐波频率分布情况下的应力波抵消机制进行研究，最终用式（50）的算术平均值评估激励源之间的“混抵效应”，实现数值仿真。

式中，上标“-”表示所设定周期内的平均值。

6）WPA公式的规律性。

作用在梁上的谐力p0(x)ejωt会产生4个强迫波，并在有限梁的两个末端因反射产生4个自由波，它们构成梁的总运动方程（式（23）），该式的时间项 ejωt被省略。式（24）～式（26）列出了位移响应对x的前3阶偏导数。

通过观察可以发现，特征函数求解就像谐运动一样，表现出极强的规律性和规整性。尽管WPA法看起来有着繁复的表象，但式（24）～式（26）仍十分有规律性。

3.3 机理分析与WPA法

复杂工程结构动力学特性分析是工程设计的重要内容，对于舰船、桥梁、建筑、航空航天结构等大型结构，其动力学特性分析一直是工程设计的难题，因此在进行工程设计分析时，常常将复杂工程结构简化为梁、板、壳等简单结构或者他们的组合。通过对这些简单结构及其组合结构的动力学特性的研究，建立解析方法，深入研究结构之间振动传递、能量流动的机理，总结相关设计要素对动力学特性的影响规律，就可以在复杂系统工程上应用这些规律，从科学上指导大型工程结构的设计。

在将复杂系统简化及抽象出机理分析的过程中，需总结出概念性、关键性和共同性的一般规律，然后将其转向解读复杂系统的定性和定量优化，并与工程师的设计经验相结合。当设计师理解了本质要义，就能把握复杂系统研究的整体性和方向感，更好地指导工程创新。

以隔振系统为例，之所以能够用有限元等数值方法开展工程计算，皆因先期已经完成了机理分析。单自由度和二自由度隔振系统建立了显性函数解。设计师能够从解析研究成果中将隔振区域划分为质量、阻尼（也称“共振区”）和刚度“三大控制区”，并建立了如下关系式：

式中：fr1为单层隔振系统的固有频率；fr2为双层隔振系统的二阶固有频率。这是关于频域隔振效率的表达，这些结论构成了机理性解读的框架。当转向复杂工程问题时，理论分析所建立的优化规律仍主导着“修正方向”，如图13所示。

对极致高效的追求促使解析法不断完善。解析法的多样性与数值分析的交织正是为了满足工程创新对理论的拓展要求（图14）。数值法总是能够更好地满足工程解算，但它们表现出的是穷举下的特例而非一般规律。诚然，经过大量分析算例，数值法也可以归纳出普遍规律，但必定以大量案例分析为前提。当面对复杂巨系统新机制时，数值法短时间内很难“搜索”出全部规律。解析法则更容易获取系统的一般规律甚至隐藏的客观实际，例如近场波的各种衰减机制。

运载平台的竞争像无形之手推动着理论研究的持续深化：掌握复杂系统的内在规律和本质特性，并挖掘可能的潜力。不幸的是，并不是所有的数学演算都能导出显式解析函数。鉴此，可将解析法当成机理分析的先锋，用有限元法处理工程，从而完成“还原论”思想到“整体论”思维的推进。WPA法是解析法的拓展和补充，希望将混合动力学类复杂系统的机理分析从数值法的泛化中解救出来。

3.4 WPA法的缺点及改进

与其他所有动力学解析方法一样，WPA法也具有与生俱来的缺点与不足，归纳起来主要有以下几点：

1）不适合于复杂工程系统的直接分析。一般而言，WPA法像所有解析法一样，只适合作为基础理论分析的工具，探讨一般规律。

2）分析计算量增长较快。结构每增加一个“间断点”，或者引入一个外载荷或外部系统，系统矩阵项将相应增加4个未知数，即线性矩阵方程增加4阶。

3）容易发生畸变。在WPA矩阵式中，典型的如式（37）S1矩阵，有的阵元等于1，有的接近于0，而有的可能非常大，例如当x=L时，阵元之间的比值极大化达到maxS1=k2ekL。这使线性矩阵方程求解过程中容易发生畸变。

WPA法尚处在发展之中。关于该方法的理论挖掘和物理、数学释义以及相应的计算方法，还需要在实践中发展、完善。目前欠缺的是过程，以及通过过程来判断该方法的潜力。总体而言，WPA法增加了我们分析、思考问题的视角，在结构噪声、主动振动控制领域得到了一定的应用。它们是否能够成为主流解析方法，得到更加广泛的应用，既需要各种场景的应用和试验修正，更需要研究者像挖掘优点一样充分发现缺陷，在质疑声中不断修改、完善。

4 结 语

WPA法源于振动微分方程，与解析法同出一宗。它用双指数函数形式的空间型函数和时间变量，基于结构线弹性范围内小幅振动波的叠加原理，求解结构振动和波传播问题。WPA法结合Matlab强大的复矩阵计算能力，用准确解析解来保证求解精度，化解了系统边界、约束和结构协调无法全部满足的普遍难题，实现了频点上的精准一致。该方法可以嵌入一个或者多个“信号发生器”——用数学方式表达力源的相位或相位的变化，或者通过程序的随机函数实现统计分析，以研究多源激励弹性波的抵消机制。

对于许多工程师，甚至那些从事结构动力学科学研究的人员而言，研究结构中波的传播似乎离他们很远，因为一些解析法由于在数学处理上太过深奥而难以应用。本文推介的WPA法用于结构弹性波分析，也许能使复杂结构的动力学分析不再让人如此懊恼和沮丧，这对该方法的应用和推广很有意义。

致 谢

感谢我的博士研究生张诗洋，闫肖杰协助制作图表。与周其斗、杜堃、熊济时等开展的深入的学术讨论，均使作者获益匪浅，在此一并感谢。