深度研读试题 启迪复习备考

安徽省临泉田家炳实验中学 (邮编：236400)

高考试题对复习备考有导向作用.因此，每年高考后，教师大都认真做高考试题，感受高考试题的变化.笔者认为仅限于此还不够，教师应深度研读高考试题，挖掘试题的来源，探寻试题的不同解法，并深度拓展试题，启迪高三复习备考.下面以2018年全国卷I文20(理19可看成它的变式)为例具体谈谈自己的看法，与大家交流.

1 试题呈现

设抛物线C：y2=2x,点A(2,0)、B(-2,0),过点A的直线l与C交于M、N两点.

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM=∠ABN.

本题以抛物线为载体，以直线与抛物线的位置关系(相交)为依托，借助两角相等，综合考查直线、抛物线以及它们之间的关系等知识；在解决问题的过程中，进一步考查学生的逻辑推理与运算求解能力，从中渗透了直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，综合性强，有一定难度.

2 试题来源

2.1 试题命制猜想

该试题改编自教材，过程如下：

(1)人教版数学选修2-1第73页第6题：“如图1，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB”；

(2)如图2，去掉线段OA、OB以及点F,然后取直线y=x-2与x轴交点M(2,0)及定点N(-2,0),连接NA、NB；

图1

图2

图3

(3)如图3，把直线y=x-2改为任意过M(2,0)的直线l，并把相应的字母交换，就得到试题.

2.2 改编前后对比

试题保持了教材中抛物线和点(2,0)不变，把直线y=x-2一般化，并添加了与点(2,0)关于原点对称的点(-2,0),而结论也由线垂直改为角相等.通过这样的改编，使得试题的深度和灵活性都得到大幅度地提高，符合高考命题(源于教材，又高于教材)的要求.

3 试题解法

3.1 解法

(1)是求特殊位置(直线l与x轴垂直)下的直线方程，易得直线BM的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0(过程略).对于(2)，由于∠ABM与∠ABN的公共边在x轴上，另外两边分居x轴的两侧，故证∠ABM=∠ABN主要有四条思路：利用角平分线定理的逆定理，直线BM、BN的斜率之和为零以及三角形相似.由于当直线l垂直x轴时，易证∠ABM=∠ABN,只考虑直线l不垂直x轴的情况.

解法1利用角平分线定理1的逆定理

解法2利用角平分线定理的逆定理

设直线l的方程为y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),

解法3利用两直线的斜率之和为零

因为M(x1,y1),N(x2,y2)都在直线l：x=my+2上，所以x1=my1+2，x2=my2+2.

因此kBM+kBN=

=∠ABN.

解法4利用三角形相似

图4

故∠ABM=∠ABN.

当然也可以借助BM上关于x轴对称的点在BN上，或者向量法证明.

3.2 解法对比

四种解法都是以直线与抛物线相交为基础，在设而不求思想的指导下，通过消元建立关于x或y的一元二次方程，利用韦达定理得到等式，为证明命题做准备.其中方法1与方法2直接利用角平分线定理的逆定理，具有初中知识背景，容易想到，但是对运算能力要求较高，对一般的学生是一种挑战，一般不提倡用它.方法3是把角相等转化为斜率之和为零，相对于前两种方法，运算量减少，但思维量增大，这是师生一般采用的方法.方法4侧重于几何法，构造三角形相似，简化了运算量，但学生不易想到.四种方法各有千秋，只有让学生亲身感受解题的过程，才能深刻领会各种方法的优缺点.

4 试题拓展

4.1 拓展

拓展1设抛物线C：y2=2px(p>0),点A(a,0),B(-a,0)(a>0),过点A的直线l与C交于M、N两点,那么∠ABM与∠ABN是否相等？

拓展2已知A、B、C、D是抛物线E：y2=2px(p>0)上的四点，A、C关于抛物线的对称轴对称且在直线BD的异侧，直线l:x-y+1=0是抛物线在C点处的切线，BD∥l,那么AC平分∠BAD吗？

拓展3设圆C：x2+y2=r2(r>0),点A(a,0),B(-a,0)(0

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

4.2 拓展分析

在试题的基础上，通过变换载体(从抛物线到圆、椭圆再到双曲线)实现横向拓展，在同一载体(抛物线、椭圆)下变换条件进行纵向拓展，力求举一反三，打通知识间的纵横联系，开拓视野，发展学生的思维能力.

5 复习备考启示

5.1 复习备考，注重教材的深度挖掘

复习备考的主要目的是解高考题.关于如何解高考题，罗增儒教授曾指出：“教材是高考命题的基本依据.有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题；有的试题是教材概念、定理、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几道题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓；少量难题也是按照教材内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求.”[1]在谈到复习备考时，章建跃博士曾强调：“高考复习教学，基本而重要的是使学生系统掌握课本知识，形成良好的数学认知结构.这是教师应作、能做且必须做好的工作.不能抛开课本搞复习！”[2]由此可见，教材在复习备考中的重要性.在复习备考中，教师要依托教材，对教材深度挖掘，不仅要串联起相关的数学知识，还要对一些例题、习题加工整合，必要的话可适度拓展.对于“复习就是讲题”，“复习无需教材”等片面的备考观要引起重视，实践证明，任何脱离教材的备考都是不靠谱的.

5.2 复习备考，注重习题的深度解析

众所周知，高考数学科的考试时间有限且极其珍贵，如何节约时间将是影响高考成绩的重要因素.而高考试题的设置往往入口宽，解法多样，这就要求学生在短暂的时间内选择最优的解法(如文20的思路3与思路4).这种最优法选择的培育源于平时教学，源于复习备考.而复习备考主要是让学生学会解题.解题就是寻找题目的条件与结论之间的通达路径，路径不同，解法亦不同.

有的路径曲曲折折，但沿途风景优美；有的路径平坦通达，但略显乏味.只有让学生亲身体验，才能品味到个中的滋味，才能在解题中灵活应用.因此，在复习备考的途中，对于解法多样的习题，教师要有足够的耐心，深度解析各种方法，让学生在比较中开拓思路；教师不能以赶进度为借口，选择一种自认为合适的解法，草率的结束了事，这样不利于学生思维的发展和解题能力的提升.

5.3 复习备考，注重习题的深度拓展

复习备考，时间紧、任务重，教师往往为了赶时间、赶进度，把有“内涵”的试题轻易地放过了.表面上题没少讲，但实际上效果并不佳，再遇到类似的题目学生仍不会做，或看起来会做就是做不对，复习的效果可想而知.教师应抓住有“内涵”的试题不放手，不仅深度解析试题，还要在此基础上加以拓展，让学生通过一道题看透一类题,“拔出萝卜带出泥”.这样可以避免“刷题”带给学生的体力劳动，保证做适量的题达到有效复习备考的目的.

总之，在高考试题面前，教师要做一个“有心”人，既认真做高考题，又要抱着一种欣赏的态度，从不同方面、不同角度深度研读它.唯有这样，才能取得收获，获得启迪，进而提升复习备考的效果.