一道2018年全国卷高考试题的商榷——兼谈二项分布和超几何分布

山东省济南市教育教学研究院 (邮编：250001)

概率是新课改以后中学数学新增的教学内容，它与现实生活紧密联系，有很强的实用性.二项分布和超几何分布是两个应用广泛的重要概率模型，生活中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决，在近年的高考试题中经常出现，二者既有联系又有区别，因此正确区分并理解这两个概率模型至关重要.

1 高考真题与参考答案

2018年新课标I卷20题：

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0.作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

参考答案

令f′(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.

所以f(p)的最大值点为p0=0.1.

(2)由(1)知，p=0.1,

(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元，

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.

2 高考题的几点商榷

商榷1原题目中“先从这箱产品中任取20件产品作检验”，任取20件产品是有放回还是无放回，这涉及适用的概率模型是二项分布还是超几何分布？题目中没有明确说明20件产品的抽样过程，按照题目的表述，20件产品的抽样过程应该理解是不放回的抽样，因此，该题目中第一问的“20件产品中恰有2件不合格品的概率”应该按照超几何分布概型来计算.参考答案按照二项分布来计算，默认是有放回的抽样.

商榷2原题目中“设每件产品为不合格品的概率都为p”.每件产品是否为不合格产品是该产品的内在禀赋，它不存在不确定性.不确定性来自对总体的随机抽样而产生，因此，正确的表述应当是“每次抽样时，抽样的产品为不合格品的概率为p”.

商榷3原题目中“且各件产品是否为不合格品相互独立”.各件产品是否为不合格品不存在不确定性，不确定性来自抽样过程中，各件产品抽中为不合格产品是相互独立的.

商榷4原题目中“(ii)是否该对这箱余下的所有产品作检验？”根据待命题的否定，怎样叫不检验，是全不检验吗？还是不全检验？是否的真正含义是什么？

商榷5原题目中“(ii)是否该对这箱余下的所有产品作检验？”余下指的是这一箱余下的还是全部产品余下的，题目没有界定清楚.

3 二项分布与超几何分布的概念回顾

表1

表2

4 二项分布与超几何分布的区别与联系

超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现构造上的相似点，如：随机变量X的取值都从0连续变化到l(l=min(n,M)),对应概率和N,n,l三个值密切相关，可见两种分布之间又有着密切的联系.

一般来讲，超几何分布和二项分布最明显的区别在超几何分布是“无放回”抽样，二项分布是“有放回”抽样

5 二项分布与超几何分布的应用举例

例1(2018年天津卷16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24、16、16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

分析本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．在第二问中，本题是典型的超几何分布，不放回，“睡眠充足”与“睡眠不足”两类，所以随机变量X～H(3,4,7)

例2(2015全国卷4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

从极限的角度来分析，随着样本个数的增加，样本个数越大超几何分布和二项分布的对应概率相差就越小，当样本个数为无穷大时，超几何分布和二项分布的对应概率就相等，换言之，超几何分布的极限就是二项分布.但对于高中生的概率学习来讲，还是以各自分布的特征为区别，正确选择公式.