关于函数域中指数和的界

黎 娇，曹亚萌，李国全

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

1 引言及主要结论

本文中使用的符号及定义可详见文献[1-4].设Fq为一个含有q个元的有限域，其特征为p.Fq[t]为Fq上的一元多项式环.设K=Fq（t）为Fq[t]的商域.对f/g∈K，定义其范数为|f/g|=qdegf-degg，此处约定deg 0=-∞，|0|=0.K在此范数下的完备化为K∞=Fq（（t-1）），即关于t-1的形式Laurent级数域.因此，对于ξ∈K∞，存在n∈Z与Fq中的序列，适合当时，记 ord ξ=n.特别地，当 ξ∈Fq[t]时，ord ξ=deg ξ.此外，约定 ord 0=-∞，则对一切 ξ∈K∞，有|ξ|=qordξ.称为ξ的小数部分；称a-1为ξ的留数，记为 res ξ.

对 N∈N，记GN={x∈Fq[t]：ord x＜N}，则其基数为|GN|=qN.

记T={α∈K∞：|α|＜1}，则T为 K∞的一个紧子群.用dξ表示K∞上正规的Haar测度，适合.

记 tr：Fq→Fp为迹映射，定义 eq：Fq→C×为：∀a∈，则eq为Fq上一个非平凡的加法特征.利用eq可定义一个指数函数e：K∞→C×，∀ξ∈K∞，e（ξ）=eq（res ξ）.对k、M∈N+，2≤k＜p，定义指数和.

近年来，关于指数和的研究受到相关学者的关注[5-8].其中，文献[6]利用对|SM，2（α）|6的一个积分估计建立了关于2次幂的Sárközy型理论，但文献[6]中并没有给出对这个积分估计的证明.本文研究关于指数和SM，k的更一般的界，对|SM，k（α）|r的积分进行估计，并利用这个结果界定了齐次方程xk1+…+xkl=yk1+…+ykl（xi、yi∈Fq[t]，∀1≤i≤l）的解数.

定理设r∈R，r＞2k，则存在只依赖于q、k、r的常数C＞0，使得.

设l∈N+，对于Fq[t]上2l元齐次方程

本文利用定理结果与关于指数函数e（·）的一个正交关系，得到了在 xi、yi∈GM（1≤i≤l）的限制下，这个方程解数上界的估计：

推论1设l∈N，l＞2k-1.存在只依赖于 q、k与l的常数C′＞0，使得

对于SM，k的加权形式·e（xkα），本文利用推论 1 估计了的上界：

推论2设l∈N，l＞2k-1.存在只依赖于q、k与 l的常数C″＞0，具有下列性质：设N∈N，α∈T，如果-N≤ord α ＜-kM+k，则.

文献[6]的Lemma 9即为推论2在k=2与l=3时的特殊情形.

2 主要结论的证明

首先给出一些引理.

引理1[2]（1）对 x∈Fq[t]，有

（2）对 N∈N+与 ξ∈K∞，有

对于 x、y∈Fq[t]，当 x、y不同时为 0 时，以（x，y）表示x与y的首系数为1的最大公因式.特别的，（x，y）=1当且仅当x与y互素.

引理2[2（]Dirichlet原理） 设N∈N+，∀α∈T，∃（x，y）∈Fq[t]2，满足下列条件：

（1）y首系数为 1，ord y≤N.

（2）ord x ＜ ord y，（x，y）=1.

应用引理2可得引理3.

引理3（1）设 x、x′、y、y′∈Fq[t]，如果 x/y、x′/y′∈A，则当且仅当 x/y=x′/y′.

引理4[5]存在仅依赖于q与k的常数C1＞0，具有下列性质：设 α∈T，如果|α|＜q-(k-1)(M-1)，则C1qM（1+qk(M-1)|α|）-1/k.

引理5[2]∀ε＞0，存在仅依赖于q、k与ε的常数C2＞0，满足：

引理6[2]（1）设 x/y∈A，如果 M（x，y）为一个优弧，则∀α∈M（x，y），有

（2）存在只依赖于k的常数C3＞0，具有下列性质：设，如果（x，y）=1，则|S（x，y）|≤C3|y|1-1/k.

引理7存在只依赖于q与k的常数C4＞0，具有下列性质：设x/y∈A，如果M（x，y）为一个优弧，则

证明由引理6可得

由于|α-x/y|＜q-(k-1)M|y|-1≤q-(k-1)M，应用引理 4 可得

因此，取C4=C1C3即可.

引理8设r∈R，r＞2k，则存在仅依赖于q、k与r的常数 C5＞0，使得

证明设y首系数为1，有

此处，C5′＞0只与 q、k、r有关.

此处，C5″＞ 0只与 q、k、r有关.

引理9设r∈R，r＞2k，则存在只依赖于q、k与r的常数C6＞0，使得

证明首先，由积分性质有

对 ε=2-k应用引理 5（2），有，其中C2′＞0只与q、k有关.

由于 r＞2k，2-kr-1＞0.对 ε=2-kr-1 应用引理 5（1），有，其中常数 C2″＞ 0 只与 q、k、r有关.

定理的证明依次应用引理8与引理9，可得

因此，取C=C5+C6即可.

推论1的证明

由引理 1（1）可得

由于2l＞2k，对r=2l应用定理即可.

推论2的证明

由于

由推论1可得