一类分段线性Hamilton系统在多项式扰动下极限环个数的下界

王彬瑶，李宝毅，张永康

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

1 引言和主要结论

电力电子、生物学、控制理论等许多领域的问题需要使用分段光滑系统模型来描述，因此在微分方程定性理论中，分段光滑系统的性质得到相关学者的关注，其中，极限环的研究是一个热点问题，极限环的存在性、稳定性、个数以及分布具有非常重要的实际意义和理论价值.文献[1-2]分别证明了一类平面分段（2个区域）线性系统可以存在2个极限环.文献[3]证明了分成6种类型的平面分段（2个区域）线性微分系统可以存在2个极限环.文献[4]证明了一类平面分段（4个区域）光滑线性系统可以存在5个极限环.文献[5]证明了一类分段二次近Hamilton系统可以存在8个极限环.文献[6]考虑一类具有双同宿闭轨的分段Hamilton系统，证明了在扰动下其可以存在14个极限环.文献[7]证明了一类分段系统在n次多项式扰动下最多存在n个极限环.

本文将平面分成2个区域：D1∪D2，其中：D1=（{x，y）|x≥0，y≥0}，D2=（{x，y）|x＜0}∪（{x，y）|y＜0}.考虑分段光滑近Hamilton系统

其中：H（1x，y）=（x-1）（y-1）=h1，（x，y）∈D1；H（2x，y）=-（x+a）2-（y+a）2=h2，（x，y）∈D2，a∈R+；P（kx，y）和Q（kx，y）为区域Dk内的n次实系数多项式，n∈N+，k=1、2.

当ε=0时，系统（1）0存在逆时针走向的周期闭轨族 Γh= Γh1∪Γh2，其中：

设Γh1与正x轴交点为A（0u，0），与正y轴交点为A（10，u），其中 u=1-h1∈（0，1），则

本文得到如下定理.

定理存在n次多项式P（kx，y）和Q（kx，y）（k=1、2），使得分段光滑近 Hamilton系统（1）ε至少存在n+1+2（[n+1）/2]个极限环.

2 Melnikov函数

因为H（1x，y）=h1=1-u，故 Γh1的参数方程可设为，其中 s∈（0，u），u∈（0，1）.因为H（2x，y）=h2=-（x+a）2-（y+a）2=-v2，其中v=，故的参数方程可设为x=v cos θ-a，y=v sin θ-a，θ∈（α，β），其中：α 表示当Γh2位于点A（10，u）时所对应的角，β表示当 Γh2位于点A（0u，0）时所对应的角.因此有，则，则.

引理1[7]分段光滑近Hamilton系统（1）ε的一阶Melnikov函数为

引理2设，其中：，，则有

证明令，显然，则

整理即得式（2），证毕.

推论1若m∈N+，则有·v2mω-uf2m-（2u），f（nu）为关于u的n次多项式.

证明当m=0时，，显然当m=1、2时，结论成立.假设当m=k时，结论成立，则当m=k+1时，有

满足结论，证毕.

引理3设，其中 i、j∈N，则有

其中fn（u）为关于u的n次多项式，且各项系数相互独立.

证明显然当n=1时，结论成立.

假设当n=2k（k∈N+）时结论成立，则当n=2k+1时，考虑i+j=2k+1，此时

注意到

故有

设

新增加 2 项 u2k+2和（u-1）ukln（1-u）的系数相互独立且仅与{pij、qij|i+j=2k+1，i、j∈N}中的元素有关，即n=2k+1时结论成立.

假设n=2k+1（k∈N）时结论成立，同理可证，当n=2k+2（k∈N）时结论成立.综上，引理3得证.

引理4设，，则有

其中fn*（u）为关于u的n次多项式，且各项系数相互独立.

证明显然当n=1时，结论成立.

假设n=2k（k∈N+）时结论成立，则当n=2k+1时，考虑i+j=2k+1，

其中 rij=-qi，j-1-pi-1，j.补充定义 q2k+2，-1=p-1，2k+2=0.

若i≡0（mod2），j≡0（mod2），则

由推论1可知v2（ka2kK2k+a2k-2K2k-2+…+a0K0）=Av2kω+uf*2k-（2u），a2k，…，a0为K2k，…，K0的系数，因此

故新增加的项v2k+2ω的系数仅与{rij|i+j=2k+2，i≡0（mod2），i、j∈N}中的元素有关.

若i≡1（mod2），j≡1（mod2），则

故新增加的项 u2k+2的系数仅与{rij|i+j=2k+2，i、j∈N，i≡1（mod2）}中的元素有关.

假设n=2k+1（k∈N）时结论成立，则当n=2k+2时，考虑i+j=2k+2，

其中 rij=-qi，j-1-pi-1，j.补充定义 q2k+3，-1=p-1，2k+3=0.

若i≡0（mod2），j≡1（mod2），则

故新增加的项u2k+2的系数仅与{rij|i+j=2k+3，i≡0（mod2），i、j∈N}中的元素有关.

若i≡1（mod2），j≡0（mod2），则

故新增加的项 u2k+3的系数与{pij、qij|i+j=2k+2，i、j∈N}中的元素有关.综上，引理4得证.

3 Melnikov函数的变号零点

命题设（fu）和g（u）是R+上的连续函数，且当0＜u≪1时，（fu）=fm· um+o（um），g（u）=g·lul+o（u）l，其中fm、gl为实数且.若 （fu）在R+上存在k个变号零点且l＜m，则存在实数C，使得F（u）=（fu）+Cg（u）在R+上至少存在k+1个变号零点.

证明假设（fu）的k个正变号零点依次为0＜u1＜u2＜…＜ uk，则存在 v1，v+1，v2，v+2，…，vk，v+k，使得 0 ＜v1＜u2＜v+1＜v2＜u2＜v+2＜…＜vk＜uk＜v+k满足（fv）i·（fv+）i＜0，F（v+）i（fv+）i＞0，故F（v）iF（v+）i＜0，因此F（u）在（vi，v+）i内至少有一个变号零点 ωi，1≤i≤k.

不妨设fm＞0，则u→0+时，有（fu）＞0，故存在δ1∈（0，v1），使得（fδ1）＞0，因此存在 ε*＞0，当|C|＜ ε*时，有，即，取·sgn（g）l，由于l＜m，故当u→0+时，F（u）＜0，因此存在 δ2∈（0，δ1），使得 F（δ2）＜ 0，故 F（δ1）F（δ2）＜ 0，即F（u）在（δ2，δ1）内至少存在一个变号零点 ω0.命题得证.

由命题可得推论2.

推论2设φi（u）为（0，+∞）上的连续函数，当0＜u≪1时，，其中：，α1＜ α2＜…＜ αk.则存在实数 C1，C2，…，Ck，使得在（0，+∞）至少存在k-1个变号零点.

定理的证明由引理3和引理4可得系统（1）ε的一阶Melnikov函数为

当n=1时，M1（h）=0等价于

上式改写为

其中系数 a0、a1、a2、b0、c0相互独立.注意到

令

当0＜u≪1时，φ0（u）=4a2π+o（1），因此，M1（h）=0等价于

其中系数 c0、a*0、a*1、a*2、b0相互独立，由推论 2 可得存在实数 c0、a*0、a*1、a*2、b0，使得方程（3）在（0，1）上至少存在4个正变号零点，即存在1次多式Pk（x，y）和Qk（x，y）（k=1、2），使得系统（1）ε至少存在4个极限环.

当n=2时，M1（h）=0等价于

其中系数 a0、a1、a2、a3、b0、c0相互独立.注意到

其中系数 c0、a*0、a*1、a*2、b0相互独立.由推论 2 可得方程（4）在（0，1）上至少存在5个正变号零点，即存在2次多项式Pk（x，y）和Qk（x，y）（k=1、2），使得系统（1）ε至少存在5个极限环.

利用类似的方法可以证明当n≥3时，存在系数a0，a1，…，an+2，b0，b1，…，b[(n-1)/2]，c0，c1，…，c[(n-1)/2]相互独立，使得M1（h）=0在（0，1）上至少存n+1+2（[n+1）/2]个正变号零点，即存在n次多项式Pk（x，y）、Qk（x、y）（k=1、2），使得系统（1）ε至少存在 n+1+2[（n+1）/2]个极限环.