车辆通过连续减速带时的非线性振动特性分析

朱由锋，班 朋，孔小飞，臧宏昱

(1.山东科技大学 交通学院,山东 青岛 266590；2.山东科技大学 机械电子工程学院,山东 青岛 266590)

悬架是车辆重要组成部分，影响车辆的行驶平顺性和操纵稳定性，基于此，国内外学者对于悬架分别从理论研究法和实验研究法对悬架进行了大量的研究。Sekulic D[1]等人建立了10自由度线性车辆振动模型，利用H.Braun模型作为路面激励研究城际公交的平顺性；Silveiva M[2]等人和Bonowiec M[3]等人建立的四分之一车辆振动模型分析非线性阻尼对于车辆行驶平顺性的影响；张丙强[4]根据达朗伯原理推导2自由度、四自由度和7自由度车辆线性动力学模型，从均方根值的角度对乘坐舒适性进行研究和分析；侯彦羽[5]运用龙格-库塔法对2自由度和四自由度两个力学模型进行求解，得出系统的分岔图和混沌图；毕凤荣[6]等建立含非线性阻尼的整车7自由度力学模型，研究阻尼变化系数对于整车振动的影响。

对于车辆动力学模型的建立，低自由度结构简单，但是所表征的信息并不理想；多自由度可以更好地接近实际情况，但自由度多会增加模型求解的困难度，所以合理地选取自由度数对于车辆振动的研究至关重要；在车辆实际的运动中，悬架的弹簧刚度和减振器阻尼系数以及轮胎在一定的载荷和激励下都具有一定的非线性，不可忽视。鉴于此本文建立轮胎、悬架弹簧和减振器阻尼的非线性模型，以高速路段的连续减速带作为整车7自由度的激励，建立含有非线性项的微分方程，分析各参数非线性对系统分岔的影响，并进一步分析混沌运动。本文对于阻尼非线性系数和连续减速带对于车辆振动影响的研究具有实际应用意义，可为悬架参数的匹配和高速路段布置减速带所参照。

1 模型的建立

1.1 连续减速带模型的建立

为了使高速行驶的车辆在特定的路段适当地减速行驶，通常在高速路段中的隧道口，过弯或收费站等路段设置连续减速带。本文选用高速路段常见的周期半正弦激励模型作为整车7自由度的路面激励。根据减速带的相关模型，建立车速—路面耦合连续减速带激励[7]。其前轮和后轮的动力学模型为

其中：A为减速带高度0.05 m，v为车辆行驶速度20 m/s，x为减速带宽度0.4 m，y为两减速带的间距15 m，△t为后轮较前轮滞后时间，其值为车辆轴距与速度的比值。减速带模型的周期T和频率f分别为

本文选用的车辆悬架模型为独立悬架，即每侧车轮都是通过单独弹簧悬架系统悬架在车架下，其优点是左右车轮互不影响，所以这里忽略左右轮之间的耦合，只考虑前后车轮的滞后。

1.2 非线性数学模型的建立

（1）现代汽车悬架大都采用液压阻尼减振器。由于阻尼在压缩与复原过程中存在不同的阻力，高速流经节流孔的液体会出现液体过流断面突变的现象，过流断面急剧缩小或扩大会产生旋涡撞击，基于以上原因液压阻尼减振器存在一定的非线性。文献[8]运用曲线拟合最小二乘法得到阻尼器的非线性数学模型为

其中：c为阻尼系数，为簧上质量振动速度，为簧下质量振动速度，n为阻尼的非线性系数。在文献[9]中，将非线性系数n取值为1/3，即为亚粘性阻尼，本文将在2.2节中从分岔的角度论述亚粘性阻尼对于系统的影响。

（2）车辆在高速和低速行驶时，其对于悬架刚度的要求不同，高速时要求较大的弹簧刚度以满足车辆的操纵稳定性，低速时要求较小的弹簧刚度以满足车辆的行驶平顺性，基于此在设计悬架弹簧时会将悬架弹簧的丝径、中经和节距等设置成不等的数值，此种设计使得悬架弹簧在压缩和伸张时存在一定的非线性。悬架弹簧非线性数学模型可表示为

其中：k为悬架弹簧刚度，α为弹簧的非线性系数，zs为簧上质量振动位移，zu为簧下质量振动位移[10]。

（3）受轮胎的充气压力、老化程度、磨损和温度等因素的影响，存在一定的非线性，由于材质原因，轮胎具有一定的减振作用，但是由于相比较悬架阻尼器，其阻尼值较小，这里给于忽略。轮胎的非线性数学模型可表示为

其中：kt为轮胎刚度，β为轮胎非线性系数，zu为簧下质量振动位移，q为路面激励高程[11]。

1.3 整车力学模型的建立

考虑车身的垂直位移，俯仰，侧倾运动以及4个车轮的垂直运动，建立整车7自由度动力学模型如图1。

图1 整车7自由度模型

图1中，1-左前轮，2-右前轮，3-左后轮，4-右后轮，m为簧上质量，m1、m2、m3、m4为簧下质量，Jx为车身对x轴的转动惯量，Jy为车身对y轴的转动惯量，k1、k2、k3、k4为弹簧刚度，kt1、kt2、kt3、kt4为轮胎刚度，c1、c2、c3、c4为阻尼系数，zs为簧上质量的垂直位移，zu1、zu2、zu3、zu4为簧下质量的垂直位移，ϕ为车身绕质心的俯仰角，θ为车身绕质心的侧倾角，q1、q2、q3、q4为路面的不平输入，a、b为前、后轴到质心的距离，c、d为左、右悬挂中心线到质心的距离。

1.4 整车7自由度数学模型的建立

根据图1，运用能量法对整车7自由度模型进行受力分析得系统的动能、势能和耗散能如下。

系统的动能

系统的势能

系统的耗散能

对式(7)、式(8)、式(9)进行偏微分，然后代入拉格朗日方程，将方程中阻尼、弹簧和轮胎的线性项换成对应的非线性数学模型，最终得整车7自由度非线性微分程

2 模型的仿真与分析

2.1 7自由度非线性模型的初始参数[7,12]

2.2 阻尼非线性分析

为了便于研究，现假设4个阻尼的非线性系数相等且都为n，既n1=n2=n3=n4=n。通过图2表明，当阻尼的非线性系数小于0.4时，称之为强非线性，系统出现分岔现象，当非线性系数大于该值，既接近于1时本文称之为弱非线性，系统未出现分岔现象。当非线性系数在区间1.25～1.30之间，系统由振动改为跳动，本文称此区间为不稳定区间。

由此可以得出悬架阻尼的强非线性容易导致系统出现分岔，同时非线性的取值会影响系统出现不稳定现象。本文对阻尼非线性所得结论与文献[12]从最优值角度取系数值吻合，最优问题请参考文献[12]，这里不再赘述。

图2 阻尼非线性系数分岔图

下面将阻尼非线性系数分岔图分成三个区域，并分别从每个区域内选取一个值分别对系统从时间历程图、相图、Poincare截面映射图进行混沌分析，同时本论文采用了一种描述非线性动力学响应的新方法—PSP峰值图，该方法是用每个激扰力周期内的峰—峰值和对应的采样周期数在二维平面内确定的一系列的点构成的图形来描述系统不同非线性的响应，该方法能清楚地看出系统所做的各种复杂运动[13]。所划分的区域分别为 ：[0.0，0.40]；[0.40，1.25]；[1.25，1.30]，由于[1.30，1.50]范围内系统的状态与第二区间相同，这里不再分析，选取的值分别为：0.3、0.8、1.3。高度路段车辆行驶辆速度一般要求高于60 km/h，本文假设车辆以恒定的速度过减速带，行驶速度为20 m/s（72 km/h）。

如图3所示，系统在整个时间历程区间内呈现非周期振动，相图由无数近似圆环组成，Poincare截面呈现散落的点状，PSP峰值出现紊乱迹象，可以得出当阻尼非线性系数取0.3时，系统处于混沌状态；

如图4所示，系统在整个时间历程图范围内经过短暂的振荡后进入周期运动，相图是由无数的圆环重合为一个圆环，Poincare截面图为一点，PSP值收敛为一条曲线，可知当阻尼非线性系数取0.8时，系统处于周期运动状态；

如图5所示，系统在整个时间历程区间内呈现非周期振动，相图由无数近似圆环组成，Poincare截面由点组成具有一定形状，PSP峰值图由若干条线条呈规律排列，随着周期的增大，PSP峰值出现收敛，但周期过大，不再符合实际，这里不予考虑，基于此可以得出当阻尼非线性系数取1.3时，系统处于拟周期运动状态。

图3 系统的时间历程图、相位图、Poincare图、PSP图（n=0.3）

拟周期运动和混沌运动一方面影响车辆行驶的操纵稳定性和行驶平顺性，另一方面加剧了车辆零部件的疲劳磨损，降低使用寿命，影响行驶的安全性。由于阻尼器的非线性系数主要是在阻尼器压缩和复原的过程中产生的，而影响压缩和复原的因素很多，比如簧上质量，弹簧刚度等，所以在设定车辆参数时需考虑相关参数对阻尼非线性的影响，在车辆产生振动时将阻尼的非线性系数控制在合理的范围之内，以免阻尼的非线性系数处于不稳定区域导致系统进入拟周期运动和混沌运动状态。

2.3 频率对于系统的影响

对车辆振动的研究，主要是分析系统、激励和响应三者之间的关系，对于激励的研究又分为时域和频域两个角度。减速带给与车辆的激励主要是高度、宽度和间距以及车辆行驶速度对车辆振动。在1.1节对于减速带模型的搭建中，提到减速带的频率与周期。由于频率受减速带的宽和间距以及车辆行驶速度影响，下面从频域的角度分析减速带激励频率对系统的响应。这里用f替换掉减速带模型中的减速带的宽和间距以及车辆的行驶速度，其连续减速带的激励模型为

得频率分岔图以及簧上质量的幅频特性曲线图如下图4、图5所示。

从图6可以看出，当激励频率值处在0～4 Hz范围内和10 Hz附近，簧上质量位移出现分岔现象，且在1.3 Hz附近簧上质量位移分岔最为严重，其余频率值未再出现分岔现象。

图4 系统的时间历程图、相位图、Poincare图、PSP图（n=0.8）

图5 系统的时间历程图、相位图、Poincare图、PSP图（n=1.3）

图6 频率分岔图

图7 簧上质量幅频特性曲线

而从图7的幅频特性曲线图中可以看出在1.3 Hz附近和10 Hz附近簧上质量的幅频特性曲线有明显突变的迹象，根据幅频特性曲线的特点可以判断在1.3 Hz和10 Hz附近系统出现共振现象。综合图6和图7可判断系统共振频率值处会伴有分岔现象，且主共振（1.3 Hz）附近分岔较为严重。若减速带的相关参数确定，低频输入所对应为低行驶速度，从而可得低行驶速度影响簧上质量振动的分岔，而较高车速对簧上质量振动的分岔影响较小；若通过连续减速带车辆的行驶速度范围确定，则在布置减速带时需考虑减速带的宽度和间距。具体速度范围和减速带的合理参数参见1.1节。下面将图6以频率值划分为两个区域，因系统在10 Hz附近所出现的分岔现象较1.3 Hz处的分岔现象不明显，为了研究方便，这里将其划定为非分岔区域，即[0，4]为分岔区域，[4，18]为非分岔区域，在划分区域内选取两个频率值作为分析系统的复杂运动的激励频率，其选择的值为1.5 Hz和5 Hz。由于在2.2节中，对于阻尼非线性系数对系统复杂运动的影响，所参考的减速带模型其宽为0.4 m，间距为15 m，车辆行驶速度为20 m/s，所对应的减速带给与车辆激励的频率约1.3 Hz，如图4，与1.5 Hz同处于分岔区域，所以这里不再分析1.5 Hz激励下车辆的复杂运动，具体内容参见图4，下面主要以5 Hz为激励频率研究其对系统的影响。

如图8所示，在时间历程图中显示系统在初始时间段经过短暂的振荡后进入周期运动状态，相图由无数圆环重合组成，Poincare截面图聚集为一点，PSP峰值收敛为一条直线，由以上可知系统在此频率下处于周期运动状态。

2.4 变速车辆过减速带非线性特性分析

目前，针对车辆通过减速带的非线性动力学的研究通常都是基于恒定速度而进行的，然而在实际驾驶过程中，车辆并非以一个恒定的速度通过减速带，会因路况、天气、车辆密度以及驾驶者的习惯或心情而改变行驶速度，因此，对车辆通过减速带时进行变速研究具有重要的实际意义。车辆变速通过减速带，其即时速度的表达是难点也是关键点，文献[7]通过五阶数据拟合得到系统输入输出之间的数学模型，但只是加速状态，然而设置减速带的目的主要是提示驾驶者行驶在该路段时降低车辆的行驶速度，且车辆的平顺性主要以簧上质量的加速度作为评价参数，所以本文根据文献[7]拟合减速状态的方程，如下

其中：v0为拟合成的速度；a6为初始拟合速度；x为步长，a1—a5为多项式系数，其值为

由于设置减速带的目的主要是提示驾驶者行驶在该路段时降低车辆的行驶速度，且车辆的舒适性主要以簧上质量的加速度作为评价参数，所以本文主要以行驶车辆的减速状态分析簧上质量加速度的非线性特性。其簧上质量随行驶速度降低的特性如下。

假设车辆以高速路段中常使用的行驶速度25 m/s进入连续减速带区域，并以减速状态通过连续减速带。根据图9所示，可得表1。

表1 簧上质量振动最大加速度

图8 系统的时间历程图、相位图、Poincare图、PSP图（f=5 Hz）

根据表1中的数值可知，车辆以25 m/s行驶速度进入连续减速带，当车速降至15 m/s～10 m/s时，其簧上质量的垂直振动最大加速度是其他速度的2.86倍，俯仰最大加速度是其他速度的2倍，侧倾最大加速度是其他速度的1.55倍，可得在15 m/s～10 m/s的速度区间其簧上质量的振动较大，且垂直、俯仰、侧倾加速度振动幅值相对较大的速度区间相同。

图9 减速状态下簧上质量加速度特性图

由于簧上质量的加速度影响车内乘员的乘坐舒适性，所以在高速路段布置连续减速带时所布置路段的长度要尽量避免使车辆将速度降至到15 m/s，以此避免簧上质量加速度过大引起车内人员产生不舒适感。

3 结语

本文在考虑悬架弹簧、阻尼和轮胎的非线性基础上以连续减速带作为整车激励，运用MATLAB仿真软件对系统非线性振动进行仿真，得到悬架阻尼非线性系数和激励频率的分岔图。发现阻尼的非线性系数在0～0.4区间内簧上质量振动位移出现分岔现象，在该区域内的非线性系数值使系统处于混沌运动状态；取值在1.3附近，簧上质量位移改振动为跳动，系统进入拟周期运动状态；在0.4～1.3范围内，系统处于平稳运动状态。系统在共振频率（1.3 Hz和10 Hz）激励下出现分岔迹象，且在主共振频率（1.3 Hz）激励下系统分岔最为严重，但在整个频率区域内系统并未进入混沌运动状态。当车辆以25 m/s的速度进入连续减速带并以减速状态通过时，速度降至15 m/s～10 m/s区间内，簧上质量振动的加速度幅度波动较大，车辆的舒适性相对较差。