基于子结构综合法的周期支撑结构带隙分析

吴莉洁，宋汉文

（同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092）

从20世纪60年代起，国内外学者就开始对周期结构的振动特性进行了理论和实验研究。对于周期梁或者声子晶体梁的研究，Mead[1]以及Heckl[2]理论研究了周期支撑梁中压缩波，扭转波和弯曲波的耦合振动特性。Mangaraju[3]和Sonti研究了在周期支撑梁中阻尼的影响。DIıAZDEANDA[4]则从理论和实验方面研究了几何周期性杆的振动带隙。Sigmund和Jensen[5]研究了材料周期性结构。国内，郁殿龙等[6]基于声子晶体梁对一维杆状周期结构的纵向振动，轴结构的扭转振动，梁结构的弯曲振动和弯扭耦合振动进行了研究。文岐华[7]等对多振子周期梁弯曲振动中的局域共振带隙进行了研究。上海交通大学华宏星、黄修长对周期结构的实际隔振器的应用中做了一系列研究[8–9]。对于一维周期结构的研究主要是基于弹性波在周期结构内的传播，通过波动方程结合传递矩阵法，得到周期结构的弹性波带隙。对于复杂结构的带隙求解问题，通常采用结合有限元和传递矩阵法发展而来的波有限元法[10–11]。数值矩阵由于矩阵奇异性等原因，在求解带隙时，会出现数值病态问题[12–13]。

一般带支撑的周期结构的带隙问题求解是将支撑条件作为元胞截面边界处的剪切力的连续条件。从传递矩阵得到元胞的传播特性及带隙特征。

本文将支撑结构和主结构作为元胞内部的两个子结构，通过频响函数子结构综合法得到用各子结构的模态参数表示的综合频响函数。再利用频响函数和传递矩阵的关系，得到以频响函数表示的传递矩阵，并通过传递矩阵的特征值问题进行周期支撑结构的带隙分析。在构建结构的频响函数时，我们通过曲线拟合及模态截断，保留主要的模态而忽略次要模态。

1 基于子结构综合法的传递矩阵法

将周期支撑结构分为主体结构和支撑结构，分别用频响函数来表示这两个子结构，并通过子结构综合法得到综合的频响函数。基于综合的频响函数获得元胞的传递矩阵，并求得带隙特征。

1.1 子结构综合法

周期支撑结构的元胞可以分为两个子结构，即主体子结构和支撑子结构，分别用a、b表示，如图1所示，并考虑两个子结构通过某些节点直接固接。

图1 两个子结构的示意图

a、b子结构在未进行连接时，其内部测点记为i，m代表两个子结构进行固结的位置，这里m可能包含多个连接位置。a、b两个子结构均可用频响函数进行表示，如式(1)、式(2)所示

当a、b子结构通过m点固接后，把整体结构记作a+b。a+b结构包含a、b内部自由度i，以及a、b的连接点m。将新的a+b结构的内点记为n，分别属于子结构a和子结构b。将a+b结构中相连接的测点记为j。综上，a+b总结构的频响函数可以表示为式

a+b总结构的频响函数可以用子结构的频响函数表示，如式(4)所示

左边矩阵表示整体结构的各个频响函数，右边矩阵表示子结构的频响函数。

1.2 基于频响函数的传递矩阵法

对于周期结构整体元胞，元胞左右的位移和力的传递有如下关系。

其中，L、R表示元胞首末两点的位置。对于第k个元胞的左右两个的场传递量，同样有

由于结构具有周期性，则对于元胞，根据Floquet原理有如下关系式

这里λ是传播常数。

根据元胞边界的连续性条件，并综合式(6)和式(7)，可得

整理式(8)，可得

通过求解传递矩阵的特征值问题，即可以得到结构阻带。

将式(5)代入式(6)，可以将传递矩阵表达为频响函数的形式，即

将式(10)代入式(9)，得到

将1、n表示为元胞输入输出位置，则有

根据式(3)和式(4)，元胞整体结构中的原点和跨点频响函数又可以表示为如下形式

周期支撑结构中主体结构为a，所以元胞首末两点的频响函数以及跨点频响函数，又可以记为整体结构中a结构中的首末两点的频响函数以及跨点频响函数，即

由此可得

同样上述公式可以推广至具有多个子结构的情况。将式(15)代入式(11)中，将表示为子结构的频响函数的函数，记为

对于一维周期结构，当|λ|=1时，对应结构通带，当时|λ|＞1，对应结构阻带。即λ=±1时，为结构带隙分界点，此时

通过求解上述方程的零点问题可以得到带隙的位置。带隙只和主体结构的首末点的频响函数以及支撑结构在连接点处的频响函数相关。

2 基于传递矩阵法的带隙分析

2.1 带隙计算

对于无限周期情况下，利用Floquet原理，可以得到带隙的宽度和位置的表达式。根据第二节的讨论，可以通过求解传递矩阵的特征值方程，来描述带隙特性。通过曲线拟合，可以辨识结构的模态参数。通过辨识得到的模态参数可以重构结构的频响函数，一般表达式可以表示为式(18)和式(19)

求解式(20)的零点问题即可得到带隙的范围。当结构复杂时，构成频响函数的阶次会很多，通过模态截断可以保留主要模态而忽略影响较小的次要模态，研究主要模态对带隙的影响。通过元胞的频响函数表示传递矩阵可以计算得到无限周期结构的带隙特性。有限周期结构的带隙大于无限周期结构，随着周期数增加，带隙趋近于无限周期结构理论带隙。带隙的分界点可以表示为元胞模态参数的形式。而当主结构一定时，带隙的分界点仅与子结构的模态参数相关。通过子结构法可以快速地预测子结构参数对系统的带隙特性的影响。

2.2 衰减率

对于传播常数，λ=eα+iβ，其中α为无限周期结构的衰减常数，β为无限周期结构相位常数。而实际工程的结构总是有限的，在某些情况下，工程中的周期结构的重复周期数也比较少，因而不能简单地使用衰减常数α来代替有限周期结构的衰减率。本节建立了响应衰减率与衰减常数α的关系。

对于n个元胞组成的周期结构系统的传递矩阵，可以建立传递矩阵

其中：

n个元胞组成的传递矩阵则有

代入具体表达式可得

同样通过变换，可以将式(21)改写为下述形式

其中[Hn]表示n个元胞组成的周期结构的频响函数。

考虑在单输入单输出的情况，即考虑结构中振动从一端传递到另一端的传递情况。则响应可写为

从式(25)中可以得到施加在一端的外力F和另一端的结构位移Xn的关系，如式

上式为元胞重复n个周期数时，周期结构一端受外力作用，另一端的位移，同时对于n-1周期数，则有

表示元胞重复n-1个周期数时，一端受外力作用，另一端的位移。

用振动的响应传递率来表示当周期结构的周期数增加一时，结构衰减率的增加。由式(26)和式(27)可得，响应传递率的表达式为

所以需要知道Hn21，注意到Hn21=Hn12且根据前面的分析可知

由于传递矩阵是辛矩阵[14]，则有

代入式(28)得到带隙内位移传递率的衰减率。

对于相同结构，不同周期数会影响带隙深度（减振效果）。传递函数中的衰减率随着周期数的增加，衰减率趋于无限周期中的衰减常数。衰减率受周期数和α的综合影响。由于在第二节中证明，传播常数可以用结构的模态参数表示，所以带隙的深度也可以用模态参数表示，故而能通过模态参数控制带隙深度。

3 仿真算例及分析

典型的周期支撑结构有钢轨及扣压件/枕木/胶垫系统，多跨桥梁等，由主系统和支撑子系统构成。这里，将以一个简单的周期支撑结构为例，研究周期支撑结构的带隙特性以及子结构模态参数对带隙的影响。

3.1 一类周期支撑结构带隙分析

如图2，周期结构元胞为两个子结构固接形成。其中的主体结构或支撑结构是通过模态截断将一个复杂系统重构的弹簧质量系统。

通过模态重构得到最右侧两个子结构的频响函数。通过第一节中子结构综合法的推导得到综合频响函数，如图3所示。

其中sub1为图2中右下角支撑子结构，而sub2为图2中右上角主系统。

图2 简化的周期支撑系统

图3 各子结构频响和总结构频响

根据第1节中的推导，利用Floquet理论可以直接得到以上述结构为元胞的周期结构中波的传播常数。在第2节中，已经建立了响应传递率函数与传播常数关系。通过计算随着周期数增加，不同结构的响应传递率，可以得到不同周期数的有限结构的具体带隙宽度以及带隙内的减振/隔振效果。

图4 无限周期结构传播常数

从图4中，可以明显看到结构在140 Hz前具有两个带隙。从0 Hz到9 Hz以及21 Hz到25 Hz。

同时通过文献[15]的方法进行了验证对于弹簧质量系统，其波动方程可以写作下列形式

根据Floquet原理，则有Aj-1=AN,j=1，Aj+1=A1,j=N。

通过求解公式使其有非平凡解，可以得到结构能带图如图5所示。

图5 无限周期结构能带图

对比图4和图5可以看到两者得到的带隙范围是相同的。

同时通过计算具有不同元胞数目的周期结构在24 Hz时的响应传递率以及无限周期结构24 Hz时的传播常数来验证2.2节中的证明。从图4可知，24 Hz处可求得结构的衰减常数以及相位常数，并根据λ=eα+iβ，可知24 Hz时的传播常数λ为1.24。同时通过计算不同周期数下有限周期结构的原点和跨点的频响函数可以得到元胞结构左右两端的响应传递率。比较有限周期结构的响应传递率在24 Hz处的值以及无限周期结构的衰减率，结果如图6所示。

从图6中可以看到随着周期数的增加，有限周期结构响应传递率趋近传播常数。而在周期数比较少时，结构实际响应传递率与无限结构的传播常数差异较大，这也是无限周期结构与有限周期结构的差异所在。

3.2 子结构模态参数对带隙的影响

从第1节的推导中可知，整体元胞的带隙只和元胞主体结构的原点/跨点频响函数，以及支撑结构的连接点处的原点频响函数相关。当主体结构不变时，通过调整子结构的模态参数也可以快速改变其带隙特性。图7显示了子结构的1阶频率变化对结构带隙分布的影响。

图6 24 Hz下有限周期结构响应传递率和传播常数的对比

图7 子结构的1阶频率对带隙影响

图中黑点为通带和阻带的分界点。在前50 Hz一共有3个阻带，这与图4的传播常数图相一致。随着支撑子结构1阶固有频率的增加，第一、第二带隙的范围扩大，而通带范围减小。利用子结构的可设计性，通过增大子结构第1阶固有频率的值，可以增加低频段内结构的阻带范围。

4 结语

通过基于频响函数的子结构综合法、曲线拟合和模态参数辨识，计算得到了基于模态参数的传递矩阵，进而通过传递矩阵法分析周期结构的带隙动力学特性。推导了阻带的传播常数与模态参数的关系。并发现，无限周期结构阻带内的衰减率以及有限周期结构中位移传递率存在一定的联系。随着有限周期结构周期数的增加，其阻带内传递率的衰减率将趋近于无限周期结构的衰减常数。研究还发现周期支撑的结构，其在低频段内具有带隙特性。这给设计结构隔振减振提供了一条新的思路。通过调整子结构的模态参数，可以快速改变结构的带隙范围及衰减率。